Читать «Занимательная математика» онлайн - страница 28

— Но именно потому, что я покрываю 100 миль за 2 часа, — сказал мистер Джонсон своему приятелю, — нет никаких оснований предполагать, что в течение этих 2 часов непременно найдется часовой промежуток времени, на протяжении которого я двигаюсь со средней скоростью 50 миль/ч.

— Не хотелось бы огорчать вас, но, к сожалению, вы заблуждаетесь, — засмеялся врач. — Нетрудно доказать, что независимо от того, как менялась скорость поезда в течение 2 часов, за которые вы преодолеваете отрезок в 100 миль, непременно найдется по крайней мере один одночасовой промежуток времени, за который вы проезжаете ровно 50 миль. Проще всего в этом можно убедиться следующим образом. Представим себе, что 2 часа разделены на 2 последовательных промежутка времени продолжительностью 1 час каждый.

Предположим также, что ни за первый, ни за второй час вы не проезжаете ровно 50 миль, так как в противном случае задача была бы решена. Мы можем также, не ограничивая общности, предположить, что средняя скорость за первый час меньше 50 миль/ч, а за второй час — больше 50 миль/ч. Как вы увидите из дальнейшего, мои рассуждения не зависят от того, в который из часовых промежутков, в первый или во второй, средняя скорость была больше.

Мысленно представим себе промежуток времени продолжительностью в 1 час, непрерывно движущийся вдоль шкалы времени, на которой отложены один за другим первый и второй часы движения поезда. В начальном положении наш промежуток времени полностью совпадает с первым часом, в конечном положении — со вторым часом. Рассмотрим среднюю скорость поезда за часовой промежуток, скользящий вдоль шкалы времени. Так как в начальном положении наш часовой промежуток полностью перекрывается с первым часом, то средняя скорость за этот промежуток в самом начале меньше, чем 50 миль/ч. Непрерывно перемещая его направо, мы в конце концов совместим его со вторым часом, и тогда средняя скорость за скользящий часовой промежуток станет больше, чем 50 миль/ч.

Таким образом, непрерывно сдвигая часовой промежуток слева направо, мы непрерывным же образом изменяем среднюю скорость от значения, меньшего 50 миль/ч, до значения, большего 50 миль/ч. Следовательно, в некотором промежуточном положении часового промежутка средняя скорость за этот час должна быть в точности равна 50 милям/ч. Тем самым мое утверждение доказано.

Машинист вздохнул и заметил:

— Думаю, что вы правы, хотя войскам связи от этого не легче, так как я мог заранее знать, когда именно поезд начнет проходить тот самый участок, на котором он развивает среднюю скорость в 50 миль/ч, и поэтому не мог установить, когда мне следовало бы выпустить почтовых голубей. Но пока я размышляю над этим, мне хотелось бы предложить вам одну практическую задачку, которая может вас заинтересовать.