Читать «Teopeмa Гёделя» онлайн - страница 19
Джеймс Рой Ньюмен
5
Один пример абсолютного доказательства непротиворечивости
Нам придется теперь выполнить вторую задачу из упомянутых в начале предыдущего раздела и ознакомиться с одним важным, хотя и вполне доступным, примером абсолютного доказательства непротиворечивости. Усвоив это доказательство, читатель сможет лучше оценить значение работы Гёделя.
Мы покажем здесь коротко, как можно формализовать элементарную логику высказываний, являющуюся некоторым фрагментом системы, описанной в
Формализация проходит в четыре этапа. Прежде всего нам понадобится полный перечень символов, которые используются в нашем исчислении, они составят так называемый алфавит системы. Далее нам надо будет сформулировать «правила образования», согласно которым из «букв» алфавита составляются «формулы» (причем только такие, «правильно составленные», сочетания символов мы будем считать предложениями нашей системы). Можно было бы считать совокупность правил «грамматикой» исчисления. Затем мы отбираем некоторые формулы нашей системы в качестве ее аксиом (или «исходных формул»), аксиомы служат «базисом» системы. И, наконец, мы сформулируем «правила преобразования», точно описывающие, каким образом из одних формул некоторого вида «выводятся» другие формулы определенного вида; иначе говоря, правила эти — не что иное, как правила вывода.