Читать «Teopeмa Гёделя» онлайн - страница 18

Приведем пример. В логике имеется понятие класса. Два класса, по определению, «подобны», если между их членами можно установить взаимно-однозначное соответствие (причем понятие взаимно-однозначного соответствия само может быть определено в терминах других логических понятий). Класс, имеющий единственный член, называется «единичным классом» (таков, например, класс естественных спутников Земли); кардинальное (количественное) число 1 определяется как класс всех классов, подобных какому-либо единичному классу. Аналогично можно определить и другие кардинальные числа; различные арифметические операции (сложение, умножение и т. д.) также можно определить через понятия формальной логики. Произвольное арифметическое утверждение (скажем, «1 + 1 = 2») можно теперь представить как сокращенную запись некоторого утверждения, составленного исключительно из выражений, принадлежащих обычной логике, и все такие чисто логические утверждения, как можно показать, выводимы из некоторой системы логических аксиом.

Таким образом, Principia Mathematica явилась существенным продвижением в решении проблемы непротиворечивости математических систем, в частности арифметики, в том смысле, что посредством этой системы P. M. было достигнуто некоторое сведение упомянутой проблемы к проблеме непротиворечивости самой формальной логики. В самом деле, если аксиомы арифметики суть просто-напросто сокращенные записи некоторых теорем логики, то вопрос о том, совместимы ли арифметические аксиомы, эквивалентен вопросу о совместимости основных логических аксиом.

Далеко не все математики (по разным причинам) согласились с тезисом Фреге-Рассела, согласно которому математика есть не что иное, как часть логики. Кроме того, как мы уже отмечали, антиномии канторовской теории бесконечных множеств, если не принять специальных мер предосторожности, легко воспроизводятся и в рамках чистой логики. Но независимо от степени приемлемости самого по себе тезиса Фреге-Рассела два достоинства системы P. M. позволяют считать ее неоценимым достижением на пути к дальнейшему изучению проблемы непротиворечивости. В Principia разработана замечательная своей краткостью система обозначений, при помощи которой все предложения чистой математики (в частности, арифметики) могут быть записаны некоторым стандартным образом. Кроме того, в этой книге явным образом сформулировано большинство правил вывода, используемых в математических доказательствах (быть может, известных и ранее, но не в столь точном и полном виде). Резюмируя, можно сказать, что в Principia создан весьма совершенный инструмент для исследования всей системы арифметики как неинтерпретированного исчисления, т. е. как системы бессмысленных значков, из которых посредством точно сформулированных правил образуются и преобразуются «строчки» знаков — формулы.