Читать «Teopeмa Гёделя» онлайн - страница 21

Наконец, аксиомами нашего исчисления (по существу теми же, что в Principia Mathematicaявляются следующие четыре формулы;

1. (p ˅ p) ﬤ p

[если p или p, то p];

2. p ﬤ (p ˅ q)

[если p, то p или q];

3. (p ˅ q) ﬤ (q ˅ p)

[если p или q, то q или p];

4. (p ﬤ q) ﬤ ((r ˅ р) ﬤ (r ˅ q))

[если p влечет q, то (r или p) влечет (r или q)].

Здесь вначале приведены аксиомы, а в квадратных скобках указаны их «переводы» на обычный язык.

Каждая из приведенных аксиом представляется довольно-таки «очевидной» и тривиальной.

^{Если, конечно, иметь в виду некоторые «естественные переводы» (т. е. интерпретации!) аксиом, самих по себе никакого «смысла» не имеющих. Аналогичное замечание следует иметь в виду при чтении следующей фразы текста и всюду в аналогичных случаях далее. — Прим. перев.}

Тем не менее из них с помощью сформулированных выше двух правил преобразования можно вывести бесконечное множество теорем, многие из которых трудно назвать очевидными или тривиальными. К числу таких теорем относится, скажем, формула

((p ﬤ q) ﬤ ((r ﬤ s) ﬤ t)) ﬤ ((u ﬤ ((r ﬤ s) ﬤ t)) ﬤ ((p ﬤ u) ﬤ (s ﬤ t))).

В данный момент нас, однако, не интересует вывод теорем из аксиом. Цель наша состоит в том, чтобы показать непротиворечивость этой системы аксиом, т. е. дать «абсолютное» доказательство невозможностивывода из данных аксиом с помощью правил преобразования никакой формулы S одновременно с ее формальным отрицанием ~S.

Оказывается, что к числу теорем нашего исчисления относится формула «p ﬤ (~ p ﬤ q)» (выражаемая словесно следующим образом: «если p, то не p влечет q»). (Мы примем этот результат к сведению, не проводя фактического его доказательства.) Допустим, что некоторая формула S, так же как и ее отрицание ~ S, выводима из аксиом. Подставляя тогда S вместо переменной «p» в только что упомянутую теорему (пользуясь правилом подстановки) и применяя затем дважды modus ponens, мы получим, что теоремой является и формула «q».

^{Подставляя S вместо (p) в «p ﬤ (~ p ﬤ q)», мы получим сначала «S ﬤ (~ S ﬤ q)». Беря затем эту формулу и формулу S в качестве посылок modus ponens, получим «~ S ~ q». Наконец, из последней формулы и ~ S также по modus ponens получим формулу «q».}

Но если формула, состоящая из одной-единственной переменной «q», является теоремой, то поскольку вместо «I» можно подставить любую формулу, то любая формула нашего исчисления оказывается выводимой из аксиом. Отсюда видно, что если какая- либо формула S вместе со своим отрицанием ~ S является теоремой рассматриваемого исчисления, то в нем теоремой является любая формула. Короче говоря, каждая формула противоречивого исчисления является теоремой — из противоречивой системы аксиом можно вывести любую формулу. Но этот же результат можно выразить и в «обратной» форме: если не каждая формула исчисления является теоремой (т. е. имеется хотя бы одна формула, не выводимая из данных аксиом), то это исчисление непротиворечиво. Таким образом, наша задача сводится к тому, чтобы показать, что имеется по крайней мере одна формула, не выводимая из рассматриваемой системы аксиом.