Читать «Teopeмa Гёделя» онлайн - страница 11

Мы убедились в важности проблемы непротиворечивости (совместимости) и ознакомились с классическим, «стандартным», методом ее решения с помощью моделей. Мы видели, что проблема эта обычно требует использования бесконечных моделей, описание которых, однако, само чревато внутренними противоречиями. Нам придется согласиться поэтому, что метод моделей имеет ограниченную ценность в качестве орудия решения проблемы и недостаточен для получения окончательного ответа на нее.

3

Абсолютные доказательства непротиворечивости

Принципиальные ограничения, препятствующие использованию моделей для установления непротиворечивости и перерастающие в уверенность подозрения, что многие математические системы чреваты внутренними противоречиями, привели к тому, что были предприняты совершенно новые попытки решения проблемы непротиворечивости. Альтернативный — по отношению к упоминавшимся до сих пор доказательствам относительной непротиворечивости— подход был указан Гильбертом. Его целью было построение «абсолютных» доказательств непротиворечивости различных систем — доказательств, не исходящих из предположений о непротиворечивости какой-либо другой системы. Чтобы понять сущность открытия Гёделя, нам понадобится разобраться в общих чертах в гильбертовском подходе к проблеме.

Первым шагом построения абсолютного доказательства непротиворечивости, согласно такому подходу, должна явиться полная формализация исследуемой дедуктивной системы, состоящей, грубо говоря, в том, что все входящие в данную, систему выражения рассматриваются как лишенные какого бы то ни было значения — просто как некоторые сочетания символов. Способы соединения символов и обращения с составленными из них выражениями четко предусмотрены специальными правилами. В результате мы получаем систему символов (называемую «исчислением»), содержащую все те и только те символы, на которые мы явным и недвусмысленным образом указали. Постулаты и теоремы полностью формализованной системы — просто «строчки» (т. е. конечные последовательности) ничего не означающих значков, достроенные из элементарных символов согласно правилам данной системы. В такой полностью формализованной системе вывод теорем из постулатов — не что иное, как преобразование (согласно правилам системы) одной совокупности «строчек» в другую. Поступая таким образом, мы избегаем опасности, связанной с неявным использованием каких-либо сомнительных методов рассуждения.