Читать «Электричество и магнетизм» онлайн - страница 40

Но потенциал j имеет и глубокий физический смысл. Мы показали, что Е закона Кулона получается из Е=-gradj, где j дается уравнением (4.22). Но если Е—это градиент скалярного поля, то, как известно из векторного исчисления, ротор Е должен обратиться в нуль:

(4.29)

Но это и есть наше второе основное уравнение электростатики — уравнение (4.6). Таким образом, мы показали, что закон Кулона дает поле Е, удовлетворяющее этому условию. Так что до сих пор все в порядке.

На самом деле то, что СXЕ равно нулю, было доказано еще до того, как мы определили потенциал. Мы показали, что работа обхода по замкнутому пути равна нулю, т. е. по любому пути.

Мы видели в гл. 3, что в таком поле СXЕ должно быть всюду равно нулю. Электрическое поле электростатики — это поле без роторов.

Вы можете потренироваться в векторном исчислении, доказав равенство нулю вектора СXЕ другим способом, т. е. вычислив компоненты вектора СXЕ для поля точечного заряда по формулам (4.11). Если получится нуль, то принцип наложения обеспечит нам обращение СXЕ в нуль для любого распределения зарядов.

Следует подчеркнуть важный факт. Для любой радиальной силы выполняемая работа не зависит от пути и существует потенциал. Если вы вдумаетесь в это, то увидите, что все наши доказательства того, что интеграл работы не зависит от пути, сами определялись только тем, что сила от отдельного заряда была радиальна и сферически симметрична. То, что зависимость силы от расстояния имела вид 1/r², не имело никакого значения, при любой зависимости от rполучилось бы то же самое. Существование потенциала и обращение в нуль ротора Е вытекают на самом деле только из симметрии и направленности электростатических сил. По этой причине уравнение (4.28) или (4.29) может содержать в себе только часть законов электричества.

§ 5. Поток поля Е

Теперь мы хотим вывести уравнение, которое непосредственно и в лоб учитывает тот факт, что закон силы — это закон обратных квадратов. Кое-кому кажется «вполне естественным», что поле меняется обратно пропорционально квадрату расстояния, потому что «именно так, мол, все распространяется». Возьмите световой источник, из которого льется поток света; количество света, проходящее через основание конуса с вершиной в источнике, одно и то же независимо от того, насколько основание удалено от вершины. Это с необходимостью следует из сохранения световой энергии. Количество света на единицу площади — интенсивность — должно быть обратно пропорционально площади, вырезанной конусом, т. е. квадрату расстояния от источника. Ясно, что по той же причине и электрическое поле должно изменяться обратно квадрату расстояния!

Но здесь ведь нет ничего похожего на «ту же причину». Ведь никто не может сказать, что электрическое поле есть мера чего-то такого, что похоже на свет и что поэтому должно сохраняться. Если бы у нас была такая «модель» электрического поля, в которой вектор поля представлял бы направление и скорость (ну, например, был бы током) каких-то вылетающих маленьких «дробинок», и если бы эта модель требовала, чтобы число дробинок сохранялось и ни одна не могла пропасть после вылета из заряда, вот тогда мы могли бы говорить, что «чувствуем» неизбежность закона обратных квадратов. С другой стороны, непременно должен был бы существовать математический способ выражения этой физической идеи. Если бы электрическое поле было подобно сохраняющимся дробинкам, то оно менялось бы обратно пропорционально квадрату расстояния и мы могли бы описать такое поведение некоторым уравнением, т. е. чисто математическим путем. Если мы не утверждаем, что электрическое поле сделано из дробинок, а понимаем, что это просто модель, помогающая нам прийти к правильной математической теории, то ничего плохого в таком способе рассуждений нет.