Читать «Электричество и магнетизм» онлайн - страница 39

(4.21)

Так как повсюду будет встречаться только разность значений функции j в двух точках, то положение точки Р₀в сущности безразлично. Однако как только отправная точка выбрана, число j тем самым определяется в любой точке пространства; значит, j является скалярным полем, функцией от х, у, z. Эту скалярную функцию мы называем электростатическим потенциалом в произвольной точке.

Электростатический потенциал

(4.22)

Часто очень удобно брать отправную точку на бесконечности. Тогда потенциал jодиночного заряда в начале координат, взятый в произвольной точке (х, у, z), равен [см. уравнение (4.20)]

(4.23)

Электрическое поле нескольких зарядов можно записать в виде суммы электрических полей от первого заряда, от второго, от третьего и т. д. Интегрируя сумму для того, чтобы определить потенциал, мы придем к сумме интегралов. Каждый из них — это потенциал соответствующего заряда. Значит, потенциал j множества зарядов есть сумма потенциалов каждого из зарядов по отдельности. Таким образом, и для потенциалов существует принцип наложения. Пользуясь такими же аргументами, как и тогда, когда мы искали электрическое поле группы зарядов или распределения зарядов, мы можем получить окончательные формулы для потенциала j в точке, обозначенной как (1):

(4.24)

(4.25)

Не забывайте, что потенциал j имеет физический смысл: это потенциальная энергия, которую имел бы единичный заряд, если его перенести в указанную точку пространства из некоторой отправной точки.

§4. E = -Сj

С какой стати нас заинтересовал потенциал j? Силы, действующие на заряды, даются величиной Е — электрическим полем. Вся соль в том, что Е из j очень легко получить, не труднее, чем вычислить производную. Рассмотрим две точки с одинаковыми у и z, но с разными х: у одной х, у другой x+Dx;; поинтересуемся, какую работу надо совершить, чтобы перенести единичный заряд из одной точки в другую. Путь переноса — горизонтальная линия от хдо х+Dх.Работа равна разности потенциалов в двух точках

Но работа против действия силы на том же отрезке равна

Мы видим, что

(4.26)

Равным образом, Е_у=-дj/ду, E_z=-dj/dz; все это в обозначениях векторного анализа можно подытожить так:

4.27)

Это дифференциальная форма уравнения (4.22). Любую задачу, в которой заряды заданы, можно решить, вычислив по (4.24) или (4.25) потенциал и рассчитав по (4.27) поле. Уравнение (4.27) согласуется также с тем, что получается в векторном анализе: с тем, что для любого скалярного поля

(4.28)

Согласно уравнению (4.25), скалярный потенциал j представляется трехмерным интегралом, подобным тому, который мы писали для Е. Есть ли какая выгода в том, что вместо Е вычисляется j? Да. Для вычисления j нужно взять один интеграл, а для вычисления Е—три (ведь это вектор). Кроме того, обычно 1/r интегрировать легче, чем x/r³. Во многих практических случаях оказывается, что для получения электрического поля легче сперва подсчитать j, а после взять градиент, чем вычислять три интеграла для Е. Это просто вопрос удобства.