Читать «Электричество и магнетизм» онлайн - страница 26

«поток». Мы будем говорить, что

(3.12)

Слову «поток» мы придаем смысл «поверхностного интеграла от нормальной составляющей» некоторого вектора. То же определение будет применяться и тогда, когда поверхность незамкнута.

А возвращаясь к частному случаю потока тепла, обратим внимание на те случаи, когда количество тепла сохраняется. Представьте себе, к примеру, материал, в котором после первоначального подогрева не происходит ни дальнейшего подвода, ни поглощения тепла. Тогда, если из какой-то замкнутой поверхности наружу поступает тепло, содержание тепла во внутреннем объеме должно падать. Так что в условиях, когда количество тепла сохраняется, мы говорим, что

(3.13)

где Q — запас тепла внутри S. Поток тепла из S наружу равен со знаком минус быстроте изменения со временем общего запаса тепла Q внутри S. Это толкование возможно оттого, что речь идет о потоке тепла, и оттого, что мы предположили, что количество тепла сохраняется. Конечно, если бы внутри объема создавалось тепло, нельзя было бы говорить о полном запасе тепла в нем.

Укажем теперь на интересное свойство потока любого вектора. Можете при этом представлять себе вектор потока тепла, но верно это будет и для произвольного векторного поля С. Представьте себе замкнутую поверхность S, окружающую объем V. Разобьем теперь объем на две части каким-то «сечением» (фиг. 3.4). Получились два объема и две замкнутые поверхности. Объем V₁окружен поверхностью S_{1 , составленной частью из прежней поверхности Saи частью из «сечения» Sab. Объем V2 окружен поверхностью S2, составленной из остатка прежней поверхности (Sb) и замкнутой сечением Sab. Зададим вопрос: если мы рассчитаем поток через поверхность Slи прибавим к нему поток сквозь поверхность S2, будет ли их сумма равна потоку через первоначальную поверхность? Ответ гласит: «Да». Потоки через часть Sab , общую обеим поверхностям S1 и S2, в точности сократятся. Для потока вектора С из V1можно написать}

(3.14)

а для потока из V₂:

(3.15)

Заметьте, что во втором интеграле мы обозначили внешнюю нормаль к S_abбуквой n₁, если она относится к S₁ , и буквой n₂, если она относится к S₁(см. фиг. 3.4).

Фиг.3.4. Объем V, заключенный внутри поверхности S, делится на две части «сечением» (поверхностью S_ab). Получается объем V₁, окруженный поверхностью S₁ = S_a+S_ab, и объем V₂, окруженный поверхностью S₂= S_b+S_ab.

Ясно, что n₁=-n₂, и тем

самым

(3.16)

Складывая теперь уравнения (3.14) и (3.15), мы убеждаемся, что сумма потоков сквозь S₁и S₂как раз равна сумме двух интегралов, которые, взятые вместе, дают поток через первоначальную поверхность S=S_a+S_b.

Мы видим, что поток через всю внешнюю поверхность S можно рассматривать как сумму потоков из тех двух частей, на которые разрезан объем. Эти части можно еще разрезать: скажем, V₁разбить пополам. Опять придется прибегнуть к тем же доводам. Так что для любого способа разбиения первоначального объема всегда остается справедливым то свойство, что поток через внешнюю поверхность (первоначальный интеграл) равен сумме потоков изо всех внутренних частей.