Читать «Электричество и магнетизм» онлайн - страница 22

такое, что D = СXC.

Перебирая всевозможные сочетания двух операторов у, мы обнаружили, что два из них всегда дают нуль. Займемся теперь теми, которые не равны нулю. Возьмем комбинацию С· (СT), первую в нашем списке. В общем случае это не нуль. Выпишем компоненты

Далее,

(2.52)

что может, вообще говоря, быть любым числом. Это скалярное поле.

Вы видите, что скобок можно не ставить, а вместо этого писать, не рискуя ошибиться:

(2.53)

Можно рассматривать С² как новый оператор. Это скалярный оператор. Так как он в физике встречается часто, ему дали особое имя — лапласиан.

(2.54)

Раз оператор лапласиана —оператор скалярный, он может действовать и на вектор. Под этим мы подразумеваем, что он применяется к каждой компоненте вектора

Рассмотрим еще одну возможность: СX(СX h) [(д) в списке (2.45)]. Ротор от ротора можно написать иначе, если использовать векторное равенство (2.6)

АX(ВXС) = В(А·С)-С(А·В). (2.55)

Заменим в этой формуле А и В оператором у и положим C=h. Получится

СX(СXh) = С(Сb)-h(С·С)...???

Погодите-ка! Здесь что-то не так. Как и положено, первые два члена — векторы (операторы утолили свою жажду), но последний член совсем не такой. Он все еще оператор. Ошибка в том, что мы не были осторожны и не выдержали нужного порядка членов. Вернувшись обратно, вы увидите, что (2.55) можно с равным успехом записать в виде

АX(ВXС) = В(А·С) -(А·В)С. (2.56)

Такой порядок членов выглядит уже лучше. Сделаем нашу подстановку в (2.56). Получится

СX (СXh) = С (Сh)-( С·С)h. (2.57)

С этой формулой уже все в порядке. Она действительно правильна, в чем вы можете убедиться, расписав компоненты. Последний член — это лапласиан, так что с равным успехом можно написать

СX (СXh) = С(С·h)- С²h. (2.58)

Из нашего списка (2.45) двойных С мы разобрали все комбинации, кроме (в), С(С·h). В ней есть смысл, это — векторное поле, но больше сказать о ней нечего. Это просто векторное поле, которое может случайно возникнуть в каком-нибудь расчете.

Удобно будет все наши рассуждения свести теперь в таблицу:

(2.59)

Вы могли заметить, что мы не пытались изобрести новый векторный оператор СХС. Понимаете, почему?

§ 8. Подвохи

Мы применили наши знания обычной векторной алгебры к алгебре оператора y Здесь нужно быть осторожным, иначе легко напутать. Нужно упомянуть о двух подвохах (впрочем, в нашем курсе они не встретятся). Что можете вы сказать о следующем выражении, куда входят две скалярные функции ш и j (фи):

Вы можете подумать, что это нуль, потому что оно похоже на

(Аa)X(Аb),

а это всегда равно нулю (векторное произведение двух одинаковых векторов АXА всегда нуль). Но в нашем примере два оператора С отнюдь не одинаковы! Первый действует на одну функцию, ш, а второй — на другую, j. И хотя мы изображаем их одним и тем же значком у, они все же должны рассматриваться как разные операторы. Направление Сш зависит от функции ш, а направление Сj — от функции j, так что они не обязаны быть параллельными:

(Сш)X(Сj)№0 (в общем случае).

К счастью, к таким выражениям мы прибегать не будем. (Но сказанное нами не меняет того факта, что СjXСш =0 в любом скалярном поле: здесь обе Сдействуют на одну и ту же функцию.) Подвох номер два (он тоже в нашем курсе не встретится): правила, которые мы здесь наметили, выглядят просто и красиво только в прямоугольных координатах. Например, если мы хотим написать x-компоненту выражения С²h, то сразу пишем