Читать «6. Электродинамика» онлайн - страница 75

Пожалуй, стоит лишь сделать несколько замечаний о поляризации электромагнитных волн. Раньше мы решили рассмотреть частный случай электрического поля с одной только y-компонентой. Имеется, конечно, и другое решение для волн, бегущих в направлении +х или -х, т. е. решение, при котором электрическое поле обладает одной лишь z-компонентой. Так как уравнения Максвелла линейны, общее решение для одномерных волн, распространяющихся в направлении х, есть сумма волн Е_yи волн Е_z. Общее

решение суммируется следующими формулами:

(20.25)

У подобных электромагнитных волн направление вектора Е не неизменно: оно как-то произвольно смещается по спирали в плоскости yz. Но в каждой точке магнитное поле всегда перпендикулярно к электрическому и к направлению распространения.

Если присутствуют только волны, бегущие в одном направлении (скажем, в положительном направлении х), то имеется простое правило, говорящее об относительной ориентации электрического и магнитного полей. Правило состоит в том, что векторное произведение ЕXВ (которое, как известно, является вектором, поперечным и к Е, и к В) указывает направление, куда бежит волна. Если Е совмещать с В правым поворотом, то вектор поворота показывает направление вектора скорости волны. (Позже мы увидим, что вектор ЕXВ имеет особый физический смысл: это вектор, описывающий течение энергии в электромагнитном поле.)

§ 2. Трехмерные волны

А теперь обратимся к трехмерным волнам. Мы уже знаем, что вектор Е удовлетворяет волновому уравнению. К тому же выводу легко прийти, отправляясь прямо от уравнений Максвелла. Предположим, что мы исходим из уравнения

и берем ротор от обеих частей:

(20.26)

Вы помните, что ротор от ротора любого вектора может быть записан в виде суммы двух членов, один из которых содержит дивергенцию, а другой — лапласиан:

Но в пустом пространстве дивергенция Е равна нулю, так что остается только член с лапласианом. Далее, из четвертого уравнения Максвелла в пустом пространстве [см. (20.12)] производная по времени от C²(СXB) равна второй производной Е по t:

Тогда (20.26) обращается в

Это и есть трехмерное волновое уравнение. Расписанное во всей красе, оно выглядит так:

Как же нам найти общее решение этого уравнения? Ответ таков: все решения трехмерного волнового уравнения могут быть представлены в виде суперпозиции уже найденных нами одномерных решений. Мы получили уравнение для волн, бегущих в направлении х, предположив, что поле не зависит от у и z. Конечно, имеются и другие решения, в которых поля не зависят от x и z,— это волны, идущие в направлении у. Затем существуют решения, не зависящие от х и y; они представляют волны, движущиеся в направлении z. Или в общем случае, поскольку мы записали наши уравнения в векторной форме, трехмерное волновое уравнение может иметь решения, которые являются плоскими волнами, бегущими, вообще говоря, в любом направлении. Кроме того, раз уравнения линейны, то одновременно может распространяться сколько угодно плоских волн, бегущих в каких угодно направлениях. Таким образом, самое общее решение трехмерного волнового уравнения является суперпозицией всех видов плоских волн, бегущих во всех возможных направлениях.