Читать «6. Электродинамика» онлайн - страница 74

также функция от (x-ct):

Покажем, что f(x-ct) действительно есть решение волнового уравнения. Поскольку f зависит лишь от одной переменной — переменной (x-ct), то мы будем через f' обозначать производную fпо этой переменной, а через f"— вторую производную.

Фиг. 20.4. Функция f(x-ct) представляет неизменный «контур», движущийся в направлении возрастания х со скоростью с.

Дифференцируя (20.21) по х, получаем

потому что производная от (x-ct) no x равна единице. Вторая производная ш no x равна

(20.22)

А производные ш no t дают

(20.23)

Мы убеждаемся, что ш действительно удовлетворяет одномерному волновому уравнению.

Вы недоумеваете: «Откуда же вы взяли, что решением волнового уравнения является f(x-ct)? Мне эта проверка задним числом совсем не нравится. Нет ли прямого пути отыскать решение?» Хорошо, вот вам прямой путь: знать решение. Можно, конечно, «испечь» по всей науке прямые математические аргументы, тем более, что мы знаем, каким должно быть решение, но с таким простым, как у нас, уравнением игра не стоит свеч. Со временем вы сами дойдете до того, что, как только; увидите уравнение (20.20), тут же будете представлять себе f(x-ct)=шв качестве решения. (Подобно тому, как сейчас при виде интеграла от x²dx у вас сразу всплывает ответ x³/3.)

На самом деле вы должны представлять себе немножко больше. Решением является не только любая функция от (x-ct), но и функция от (х+сt). Из-за того, что в волновом уравнении с встречается только в виде с², изменение знака с ничего не меняет. И действительно, самое общее решение одномерного волнового уравнения — это сумма двух произвольных функций, одной от аргумента (x-ct), а другой от (x+ct):

(20.24)

Первое слагаемое дает волну, движущуюся по направлению к положительным х, второе — произвольную волну, бегущую к отрицательным х. Общее решение получается наложением двух таких волн, существующих одновременно.

● ● ●

Следующий забавный вопрос решите сами. Возьмем функцию ш в виде

ш=coskxcoskct.

Эта функция не имеет вида f(x-ct) или g(x+ct). Но прямой подстановкой в (20.20) легко убедиться, что она удовлетворяет волновому уравнению. Но как же мы тогда смеем говорить, что общее решение имеет вид (20.24)?

● ● ●

Применяя эти выводы о решении волнового уравнения к y-компоненте электрического поля Е_у, мы заключаем, что Е может меняться по х произвольным образом. Всякое поле, которое существует в самом деле, можно всегда рассматривать как сумму двух картин. Одна волна плывет через пространство в каком-то направлении со скоростью с, причем связанное с нею магнитное поле перпендикулярно к электрическому; другая волна бежит в противоположном направлении с той же скоростью. Такие волны отвечают хорошо нам известным электромагнитным волнам — свету, радиоволнам, инфракрасному излучению, ультрафиолету, рентгеновским лучам и т. д. Мы уже изучали очень подробно излучение света. Так как все, чему мы тогда научились, применимо к любым электромагнитным волнам, то теперь нет нужды рассматривать подробно поведение этих волн.