Читать «Большая Советская Энциклопедия (ЭЙ)» онлайн - страница 18
БСЭ БСЭ
Эйлера подстановки
Э'йлера подстано'вки, подстановки, служащие для приведения интегралов вида
,
где и R (x , y ) — рациональная функция от х и у , к интегралам от рациональных функций (см. Интегральное исчисление ). Предложены Л. Эйлером в 1768. Первая Э. п.
применима, если а >0; вторая Э. п.
применима, если с > 0; третья Э. п.
где l — один из корней трёхчлена ax2 + bx + c , применима, если корни этого трёхчлена действительны. На практике Э. п. требуют громоздких преобразований и потому вместо них обычно пользуются теми или иными искусств. приёмами, упрощающими вычисление.
Аналогичные подстановки делаются в теории чисел при решении неопределённых уравнений 2-й степени в рациональных числах.
Эйлера постоянная
Э'йлера постоя'нная, предел
С= 0,577215 ...,
рассмотренный Л. Эйлером в 1740. Эйлер дал для С ряд представлений в форме рядов и интегралов; например,
,
,
где x(s ) — дзета-функция . Встречается в теории различных классов специальных функций, например гамма-функции . До сих пор неизвестно, является ли Э. п. иррациональным числом.
Эйлера уравнение
Э'йлера уравне'ние,
1) дифференциальное уравнение вида
, (*)
где ao ,... , an — постоянные числа; при х> 0 уравнение (*) подстановкой х = et сводится к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами. Изучалось Л. Эйлером с 1740. К уравнению (*) сводится подстановкой x' = ax + b уравнение
.
2) Дифференциальное уравнение вида
,
где X (x ) = a0 x4 + a1 x3 + a2x2 + a3 x + a4 , Y (y ) = а0 у4 +а1 у3+а2 у2+а3 у +a4 . Л. Эйлер рассматривал это уравнение в ряде работ начиная с 1753. Он показал, что общее решение этого уравнения имеет вид F (х , у ) = 0, где F (х , у ) — симметричный многочлен четвёртой степени от х и у. Этот результат Эйлера послужил основой теории эллиптических интегралов.
3) Дифференциальное уравнение вида
'
служащее в вариационном исчислении для разыскания экстремалей интеграла
.
Выведено Л. Эйлером в 1744.
Эйлера уравнения
Э'йлера уравне'ния,
1) в механике — динамические и кинематические уравнения, используемые при изучении движения твёрдого тела; даны Л. Эйлером в 1765.
Динамические Э. у. представляют собой дифференциальные уравнения движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки и имеют вид
Ix + (Iz — Iy ) wy wz = Mx ,
I y + (Ix — Iz ) wz wx = My , (1)
Iz + (Iy — Ix ) wx wy = Mz ,
где Ix , Iy , Iz — моменты инерции тела относительно гл. осей инерции, проведённых из неподвижной точки, wх , wу , wz — проекции мгновенной угловой скорости тела на эти оси, Mx , My , Mz — гл. моменты сил, действующих на тело, относительно тех же осей; , , — проекции углового ускорения.