Читать «Большая Советская Энциклопедия (ЭЙ)» онлайн - страница 20

Эйлера числа

Э'йлера чи'сла в математике, целые числа Е_п , являющиеся коэффициентами при tⁿ /n !, в разложении функции 1/ cht (см. Гиперболические функции ) в степенной ряд:

  Введены Л. Эйлером в 1755. Э. ч. связаны рекуррентным соотношением (Е +1) ⁿ +(E ¾1) ⁿ = 0, n = 1, 2, 3,..., E₀ = 1 (после возведения в степень надо вместо E^k подставить E_k ) и с Бернулли числами— соотношениями

,

 и .

  Встречаются в различных формулах математического анализа.

Эйлера число

Э'йлера число', один из подобия критериев движения жидкостей или газов. Характеризует соотношение между силами давления, действующими на элементарный объём жидкости или газа, и инерционными силами. Э. ч. Eu определяют формулой

(иногда 2p/ ru² ), где p₂ , p₁ — давления в двух характерных точках потока (или движущегося в нём тела), ru² /2— скоростной напор, r — плотность жидкости или газа, u — скорость течения (или скорость тела). В случае течений жидкости с кавитацией аналогичный критерий называется числом кавитации ,

где p₀ — характерное давление, р_н— давление насыщенных паров жидкости. В сжимаемых газовых потоках Э. ч. в форме Eu = 2p/ ru² связано с другими критериями подобия — Маха числом М и отношением удельных теплоёмкостей среды g — формулой Eu = 2/ gM² , где g = c_p /c_v (c_p— удельная теплоёмкость при постоянном давлении, c_v — то же при постоянном объёме). Названо по имени Л. Эйлера .

Эйлера-Маклорена формула

Э'йлера—Макло'рена фо'рмула, формула суммирования, связывающая частные суммы ряда с интегралом и производными его общего члена:

где B_v —Бернулли числа , R_n — остаточный член. Э.—М. ф. применяется для приближённого вычисления определённых интегралов, для исследования сходимости рядов, для вычисления сумм и для разложения функций в ряд Тейлора. Например, при m = 1, р = 0, n = 2m + 1,

Э. — М. ф. даёт следующее выражение:

.

  Э.—М. ф. была впервые приведена Л. Эйлером в 1738. Независимо формула была открыта позднее К. Маклореном (1742).

Эйлера-Фурье формулы

Э'йлера—Фурье' фо'рмулы, формулы для вычисления коэффициентов разложения функции в тригонометрический ряд (ряд Фурье). Э.—Ф. ф. названы по имени Л. Эйлера , давшего (1777) первый их вывод, и Ж. Фурье , систематически (начиная с 1811) пользовавшегося тригонометрическими рядами при изучении задач теплопроводности. См. Фурье коэффициенты ,Тригонометрический ряд .

Эйлерова характеристика

Э'йлерова характери'стика многогранника, число a_o —a₁ +a₂ , где a_o — число вершин, a₁ — число рёбер и a₂ — число граней многогранника. Если многогранник выпуклый или гомеоморфен (см. Гомеоморфизм ) выпуклому, то его Э. х. равна двум (теорема Л. Эйлера, 1758, известная ещё Р. Декарту).

  Э. х. произвольного комплекса есть число , где n — размерность комплекса, a_o — число его вершин, a₁ — число его рёбер, вообще a_k есть число входящих в комплекс k -мерных симплексов. Оказывается, что Э. х. равна  (формула Эйлера—Пуанкаре), где p_k есть k -мерное число Бетти данного комплекса (см. Топология ). Отсюда следует топологическая инвариантность Э. х. Ввиду топологической инвариантности Э. х. говорят об Э. х. поверхности, а также полиэдра, подразумевая под этим Э. х. любой триангуляции этой поверхности (этого полиэдра).