Читать «Большая Советская Энциклопедия (РЯ)» онлайн - страница 9
БСЭ БСЭ
, ,
то знакочередующийся Р.
(10)
сходится. Более общие признаки можно получить, например, с помощью преобразования Абеля для Р., представимых в виде
. (11)
Признак Абеля: если последовательность { a n} монотонна и ограничена, а Р.
сходится, то Р. (11) также сходится. Признак Дирихле: если последовательность { a n} монотонно стремится к нулю, а последовательность частичных сумм Р.
ограничена, то Р. (11) сходится. Например, по признаку Дирихле Р.
сходится при всех действительных a .
Иногда рассматриваются Р. вида
.
Такой Р. называется сходящимся, если сходятся Р.
и
сумма этих Р. называется суммой исходного Р.
Р. более сложной структуры являются кратные ряды, т. е. Р. вида
,
где —заданные числа (вообще говоря, комплексные), занумерованные kиндексами, n 1, n 2,..., n k, каждый из которых независимо от других пробегает натуральный ряд чисел. Простейшие из Р. этого типа — .
Для некоторых числовых Р. удаётся получить простые формулы для величины или оценки их остатка, что весьма важно, например, при оценке точности вычислений, проводимых с помощью Р. Например, для суммы геометрической прогрессии (2)
r n= q n+ 1/(1 - q), ½ q½< 1,
для P. (7) при сделанных предположениях
,
а для P. (10)
½ r n½ Ј u n+1
С помощью некоторых специальных преобразований иногда удаётся «улучшить» сходимость сходящегося Р. В математике используются не только сходящиеся Р., но и расходящиеся. Для последних вводятся более общие понятия суммы Р. (см. рядов и интегралов). Так, например, расходящийся Р. (5) можно просуммировать определённым способом к 1/ 2.
Функциональные ряды. Понятие Р. естественным образом обобщается на случай, когда членами Р. являются функции u n= u n( x) (действительные, комплексные или, более общо, функции, значения которых принадлежат какому-то метрическому пространству), определённые на некотором множестве Е.В этом случае ряд
, (11)
называется функциональным.
Если Р. (11) сходится в каждой точке множества Е,то он называется сходящимся на множестве Е.Пример: Р. сходится на всей комплексной плоскости. Сумма сходящегося Р. непрерывных, например, на некотором отрезке, функций не обязательно является непрерывной функцией. Условия, при которых на функциональные Р. переносятся свойства непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости конечных сумм функций, формулируются в терминах равномерной сходимости Р. Сходящийся Р. (11) называется равномерно сходящимся на множестве Е,если во всех точках Еотклонение частичных сумм Р.
при достаточно больших номерах nот суммы Р.
не превышает одной и той же сколь угодно малой величины, точнее, каково бы ни было наперёд заданное число e > О, существует такой номер n e, что
для всех номеров nЈ n eи всех точек хО Е.Это условие равносильно тому, что
[ — верхняя грань на Е] .Например, Р.
равномерно сходится на отрезке [0, q] при 0 < q< 1 и не сходится равномерно на отрезке [0, 1].
