Читать «Большая Советская Энциклопедия (РЯ)» онлайн - страница 7

  Числовые ряды.Формально Р. (1) можно определить как пару числовых (действительных или комплексных) последовательностей { u _n} и { S _n} таких, что S _n = u ₁+... + u _n, n= 1, 2,... Первая последовательность называется последовательностью членов Р., а вторая — последовательностью его частичных сумм [точнее S _nназывается частичной суммой n-го порядка Р. (1)]. Р. (1) называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм { S _n} .В этом случае предел

называется суммой Р. и пишется

  Т. о., обозначение (1) применяется как для самого Р., так и для его суммы (если он сходится). Если последовательность частичных сумм не имеет предела, то Р. называется расходящимся. Примером сходящегося Р. является Р. (2), расходящегося — Р. (5). Каждый Р. однозначно определяет последовательность его частичных сумм, и обратно: для любой последовательности { s _n} имеется и притом единственный Р., для которого она является последовательностью его частичных сумм, причём члены u _nэтого Р. определяются по формулам u ₁ = s ₁,..., u _n+1 = s _{n +1} — s _n ,..., n= 1, 2,... В силу этого изучение Р. эквивалентно изучению последовательностей.

  Р.  называется остатком порядка nР. (1). Если Р. сходится, то каждый его остаток сходится, а если какой-либо остаток Р. сходится, то и сам Р. также сходится. Если остаток порядка nР. (1) сходится и его сумма равна r _n, то s= s _n+ r _п.

 Если Р. (1) и Р.

сходятся, то сходится и Р.

,

называемый суммой рядов (1) и (6), причем его сумма равна сумме данных Р. Если Р.(1) сходится и l — комплексное число, то Р.

,

называемый произведением Р. на число l, также сходится и

.

  Условие сходимости Р., не использующее понятия его суммы (в случаях, когда, например, сумма Р. неизвестна), даёт критерий Коши: для того чтобы Р. (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого e > 0 существовал такой номер n _e, что при любом n³ n _eи любом целом р³ 0 выполнялось неравенство

.

  Отсюда следует, что если Р. (1) сходится, то

  Обратное неверно: n-й член так называемого

стремится к нулю, однако этот Р. расходится.

  Большую роль в теории Р. играют Р. с неотрицательными членами. Для того чтобы такой Р. сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху. Если же он расходится, то

,

поэтому в этом случае пишут

.

Для Р. с неотрицательными членами имеется ряд признаков сходимости.

  Интегральный признак сходимости: если функция f( х) определена при всех х³ 1, неотрицательна и убывает, то Р.