Читать «Большая Советская Энциклопедия (РЯ)» онлайн - страница 7
БСЭ БСЭ
Числовые ряды.Формально Р. (1) можно определить как пару числовых (действительных или комплексных) последовательностей {
называется суммой Р. и пишется
Т. о., обозначение (1) применяется как для самого Р., так и для его суммы (если он сходится). Если последовательность частичных сумм не имеет предела, то Р. называется расходящимся. Примером сходящегося Р. является Р. (2), расходящегося — Р. (5). Каждый Р. однозначно определяет последовательность его частичных сумм, и обратно: для любой последовательности {
Р.
сходятся, то сходится и Р.
называемый суммой рядов (1) и (6), причем его сумма равна сумме данных Р. Если Р.(1) сходится и l — комплексное число, то Р.
называемый произведением Р. на число l, также сходится и
Условие сходимости Р., не использующее понятия его суммы (в случаях, когда, например, сумма Р. неизвестна), даёт критерий Коши: для того чтобы Р. (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого e > 0 существовал такой номер
Отсюда следует, что если Р. (1) сходится, то
Обратное неверно:
стремится к нулю, однако этот Р. расходится.
Большую роль в теории Р. играют Р. с неотрицательными членами. Для того чтобы такой Р. сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху. Если же он расходится, то
поэтому в этом случае пишут
Для Р. с неотрицательными членами имеется ряд признаков сходимости.
Интегральный признак сходимости: если функция