Читать «Большая Советская Энциклопедия (РЯ)» онлайн - страница 8
БСЭ БСЭ
сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл
С помощью этого признака легко устанавливается, что Р.
сходится при a > 1 и расходится при a Ј 1.
Признак сравнения: если для двух Р. (1) и (6) с неотрицательными членами существует такая постоянная
где
сходится, поскольку сходится Р.
Как следствие признака сравнения получается следующее правило: если
то при a > 1 и 0 Ј
a Р. с
Часто оказываются полезными два следствия признака сравнения. Признак Д'Аламбера: если существует
Важный класс Р. составляют абсолютно сходящиеся ряды: Р. (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится Р.
Если Р. абсолютно сходится, то он и просто сходится. Р.
абсолютно сходится, а Р.
сходится, но не абсолютно. Сумма абсолютно сходящихся Р. и произведение абсолютно сходящегося Р. на число являются также абсолютно сходящимися Р. На абсолютно сходящиеся Р. наиболее полно переносятся свойства конечных сумм. Пусть
— P., составленный из тех же членов, что и Р. (1), но взятых, вообще говоря, в другом порядке. Если Р. (1) сходится абсолютно, то Р. (9) также сходится и имеет ту же сумму, что и Р. (1). Если Р. (1) и Р. (6) абсолютно сходятся, то Р., полученный из всевозможных попарных произведений
Для Р., не абсолютно сходящихся (такие Р. называют также условно сходящимися), утверждение о независимости их суммы от порядка слагаемых неверно. Справедлива теорема Римана: посредством надлежащего изменения порядка членов данного не абсолютно сходящегося Р. можно получить Р., имеющий наперёд заданную сумму, или расходящийся Р. Примером условно сходящегося Р. может служить Р.
Если в этом Р. переставить члены так, чтобы за двумя положительными следовал один отрицательный:
то его сумма увеличится в 1,5 раза. Существуют признаки сходимости, применимые к не абсолютно сходящимся Р. Например, признак Лейбница: если