Читать «Геометрия, динамика, вселенная» онлайн - страница 7

Лишь геометрия Евклида оставалась каноническим учением, но, наконец, наступила и ее очередь.

Необходимо подчеркнуть важное обстоятельство. Отрицание пятого постулата отнюдь не означает отрицания всей Евклидовой геометрии. Все аксиомы его геометрии и сам дух этой науки сохранились. Но отрицание даже одного утверждения Евклида имело далеко идущие последствия: возникла мысль, что геометрия Евклида не единственное и не последнее слово в геометрии. А такая мысль могла быть расценена в то время не иначе, как ересь. (Известно, что Гаусс не опубликовал своих исследований по основам геометрии, опасаясь непонимания со стороны своих коллег.)

Исключительно важным следствием скепсиса в отношении пятого постулата является постановка вопроса о необходимости его экспериментальной проверки. Непосредственная его проверка весьма затруднительна. Представляется даже уместным употребить слово «невозможна». Дело в том, что если (как отмечалось ранее) нет экспериментального критерия (прямизны) линии, то еще более сложно реализовать эмпирически несколько прямых и убедиться, в отсутствии их пересечения на больших расстояниях. Однако пятый постулат о параллельных эквивалентен (в сочетании с другими аксиомами евклидовой геометрии) утверждению, которое в принципе подвергается непосредственной проверке. согласно этому утверждению сумма углов треугольника равна π. Измерение углов — операция весьма разработанная, и поэтому проверку этого положения можно проделать с относительно хорошей точностью.

Уже в первых работах по неевклидовой геометрии было продемонстрировано, что отклонение суммы углов треугольника от π (при отрицании постулата о параллельных) пропорционально площади треугольника. Поэтому казалось, что если провести измерения углов достаточно большого треугольника, то нетрудно проверить истинность (или ложность) пятого постулата. К сожалению, такой оптимистический вывод необоснован.

Истоки трудностей предложенного метода проверки коренятся в принципиальной неопределенности термина «большое само по себе». В точных науках имеет смысл лишь утверждение: «большое относительно чего-то». В упомянутом же выше утверждении отсутствует именно эталон, который вдохнул бы полноценное содержание в утверждение о сумме углов треугольника.

Лобачевский и Гаусс (независимо) в своих попытках проверить евклидову геометрию, по-видимому, исходили из убеждения, продиктованного античной философией: «человек мера всех вещей». Поэтому казалось, что достаточно выбрать треугольник со сторонами, существенно превышающими размеры человека. Например, Гаусс измерил сумму углов треугольника со сторонами, во много раз (10**5) превышающими размеры человека. В результате измерений оказалось, что в пределах экспериментальных ошибок сумма углов треугольника равна π.