Читать «Большая Советская Энциклопедия (ОП)» онлайн - страница 85

 = –;

  3) О. равен нулю, если в нём элементы двух строк (или двух столбцов) соответственно пропорциональны; так, например:

= 0;

  4) общий множитель всех элементов строки (или столбца) О. можно вынести за знак О.; так, например:

 = k ;

  5) если каждый элемент какого-нибудь столбца (строки) О. есть сумма двух слагаемых, то О. равен сумме двух О., причём в одном из них соответствующий столбец (строка) состоит из первых слагаемых, а в другом — из вторых слагаемых, остальные же столбцы (строки) — те же, что и в данном О.; так, например:

 =  + ;

  6) О. не изменяется, если к элементам одной строки (столбца) прибавить элементы другой строки (другого столбца), умноженные на произвольный множитель; так, например:

  = ;

  7) О. может быть разложен по элементам какой-либо строки или какого-либо столбца. Разложение О. (3) по элементам i -й строки имеет следующий вид:

 = a_{i 1} A _{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} + ...+a_in A_in .

  Коэффициент A_ik , стоящий при элементе a_ik в этом разложении, называется алгебраическим дополнением элемента a_ik . Алгебраическое дополнение может быть вычислено по формуле: A_ik = (–1)ⁱ + k D_ik , где D_ik — минор (подопределитель, субдетерминант), дополнительный к элементу a_ik , то есть О. порядка n- 1, получающийся из данного О. посредством вычёркивания строки и столбца, на пересечении которых находится элемент a_ik . Например, разложение О. 3-го порядка по элементам второго столбца имеет следующий вид:

   = –a₁₂ + a₂₂ – a₃₂ .

  Посредством разложения по элементам строки или столбца вычисление О. n -го порядка приводится к вычислению n определителей (n - 1)-го порядка. Так, вычисление О. 5-го порядка приводится к вычислению пяти О. 4-го порядка; вычисление каждого из этих О. 4-го порядка можно, в свою очередь, привести к вычислению четырёх О. 3-го порядка (формула для вычисления О. 3-го порядка приведена выше). Однако, за исключением простейших случаев, этот метод вычисления О. практически применим лишь для О. сравнительно небольших порядков. Для вычисления О. большого порядка разработаны различные, практически более удобные методы (для вычисления О. n -го порядка приходится выполнять примерно n ³ арифметических операций).

  Отметим ещё правило умножения двух О. n -го порядка: произведение двух О. n -го порядка может быть представлено в виде О. того же n -го порядка, в котором элемент, принадлежащий i -й строке и k -му столбцу, получается, если каждый элемент i -й строки первого множителя умножить на соответствующий элемент k -го столбца второго множителя и все эти произведения сложить; иными словами, произведение О. двух матриц равно О. произведения этих матриц.

  В математическом анализе О. систематически используются после работ немецкого математика К. (2-я четверть 19 в.), исследовавшего О., элементы которых являются не числами, а функциями одного или нескольких переменных. Из таких О. наибольший интерес представляет определитель Якоби ( )

.

  Определитель Якоби равен коэффициенту искажения объёмов при переходе от неременных х ₁ , x ₂ , ..., х_п к переменным