Читать «Большая Советская Энциклопедия (ОП)» онлайн - страница 84
БСЭ БСЭ
å ± a 1 a a 2 b ...an g . (2)
В этой формуле a, b, ..., g есть произвольная перестановка чисел 1, 2, ..., n . Перед членом берётся знак +, если перестановка a, b, ..., g чётная, и знак – , если эта перестановка нечётная. [Перестановку называют чётной, если в ней содержится чётное число нарушений порядка (или инверсий), т. е. случаев, когда большее число стоит впереди меньшего, и нечётной – в противоположном случае; так, например, перестановка 51243 – нечётная, т. к. в ней имеется 5 инверсий 51, 52, 54, 53, 43.] Суммирование производится по всем перестановкам a, b, ..., g чисел 1, 2, ..., n . Число различных перестановок n символов равно n ! = 1·2·3·...·n ; поэтому О. содержит n ! членов, из которых 1 /2 n ! берётся со знаком + и 1 /2 n ! со знаком –. Число n называется порядком О.
О., составленный из элементов матрицы (1), записывают в виде:
(3)
(или, сокращённо, в виде |aik |). Для О. 2-го и 3-го порядков имеем формулы:
= a 11 a 22 – a 12 a 21 ,
= a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 – a 11 a 23 a 32 – a 12 a 21 a 33 – a 13 a 22 a 31 .
О. 2-го и 3-го порядков допускают простое геометрическое истолкование: равен площади параллелограмма, построенного на векторах a 1 = (x 1 , y 1 ) и a 2 = (х 2 .у 2 ), а равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах a 1 = (x 1 , y 1 , z 1 ), a 2 = (x 2 , у 2 , z2 ) и а 3 = (х 3 , y 3 , z 3 ) (системы координат предполагаются прямоугольными).
Теория О. возникла в связи с задачей решения систем алгебраических уравнений 1-й степени ( ). В наиболее важном случае, когда число уравнений равно числу неизвестных, такая система может быть записана в виде:
(4)
Эта система имеет одно определённое решение, если О. |aik |, составленный из коэффициентов при неизвестных, не равен нулю; тогда неизвестное xm (m = 1, 2, ..., n ) равно дроби, у которой в знаменателе стоит О.|aik |, а в числителе — О., получаемый из |aik | заменой элементов m -го столбца (т. е. коэффициентов при хт ) числами b 1 , b 2 , ..., bn . Так, в случае системы двух уравнений с двумя неизвестными
решение даётся формулами
; .
Если b 1 = b 2 = ..., = bn = 0, то систему (4) называется однородной системой линейных уравнений. Однородная система имеет отличные от нуля решения, только если |aik | = 0. Связь теории О. с теорией линейных уравнений позволила применить теорию О. к решению большого числа задач аналитической геометрии. Многие формулы аналитической геометрии удобно записывать при помощи О.; например, уравнение плоскости, проходящей через точки с координатами (x 1 , y 1 , z 1 ), (x 2 , y 2 , z2 ), (х 3 , y 3 , z 3 ), может быть записано в виде:
= 0.
О. обладают рядом важных свойств, которые, в частности, облегчают их вычисление. Простейшие из этих свойств следующие:
1) O. не изменяется, если в нём строки и столбцы поменять местами:
= ;
2) О. меняет знак, если в нём поменять местами две строки (или два столбца); так, например:
