Читать «Большая Советская Энциклопедия (ОП)» онлайн - страница 81

  Генетические О. в дедуктивных науках реализуются в виде индуктивных и рекурсивных О. Индуктивное О. (и. о.) какой-либо или состоит из т. н. прямых пунктов, указывающих значения определяемой функции или предиката для объектов из области её (его) определения, и косвенного пункта, согласно которому никакие объекты, не подпадающие под действие прямых пунктов данного О., не удовлетворяют ему. Различают фундаментальные и. о. некоторых предметных областей и нефундаментальные и. о., выделяющие те или иные подмножества из ранее определённых областей; так, и. о. натурального числа (или формулы исчисления высказываний; см. , ) фундаментально, а О. чётного числа (соответственно исчисления высказываний) нефундаментально. И. о. обоих видов, порождающие определяемые ими объекты в некотором порядке, оправдывают применение к объектам доказательств по . Особенно важны случаи, когда этот порядок порождения однозначен; такие и. о., имеющие форму системы или эквивалентностей (часть которых суть явные О. некоторых «начальных» значений определяемой функции или предиката, а другие описывают способы получения новых значений из уже определённых с помощью различных подстановок и «схем рекурсии» — см. ), называются рекурсивными О. (р. о.). Р. о. в известном смысле наилучшим образом реализуют требования эффективности О., столь важные в общефилософском и практических отношениях.

  К О. всех видов (в т. ч. рассмотренных выше) предъявляется ряд общих требований (принципов) О., нарушение которых может обесценить предложения, формально имеющие форму О. Правило переводимости (или элиминируемости), состоящее в требовании равнообъёмности Dfd и Dfn реальных О., предусматривает возможность взаимной замены Dfd и Dfn явных номинальных О. Правило однозначности (или определённости) — это естественное требование единственности Dfd для каждого Dfn (но, конечно, не наоборот: гарантируя отсутствие в пределах данной теории, правило это вовсе не запрещает ; не говоря уже о том, что любое явное О. порождает синонимичную пару Dfd— Dfn, для одного и того же понятия или термина возможны различные О., сравнение которых часто бывает весьма плодотворным). Наконец, правило отсутствия порочного круга: Dfn О. не должен зависеть от Dfd (см. , ). Выполнение этого столь естественного условия (представляется очевидным, что при его нарушении О. «ничего не определяет») связано с серьёзными трудностями, тем более, что, например, в «точнейшей из наук» — математике — оказывается чрезвычайно неудобным полностью отказаться от нарушающих этот принцип т. н. (см. также , ). Следует отметить, что индуктивные и рекурсивные О., в формулировках которых Dfn содержит упоминание о Dfd, на самом деле всё же удовлетворяют этому требованию: анализ таких О. показывает, что на каждом шаге порождения определяемых ими объектов Dfd используется не целиком, а лишь в объёме предварительно построенной (на предыдущих шагах) своей части.