Читать «Большая Советская Энциклопедия (МН)» онлайн - страница 11

  Кристаллографические многогранники. Каждая из семи рассмотренных групп имеет подгруппы, всех различных таких групп и их подгрупп 32; их называют кристаллографическими классами. Пусть какой-нибудь кристаллографический класс есть подгруппа некоторой голоэдрии, тогда говорят, что он принадлежит этой голоэдрии (или входит в состав её сингонии), если этот класс не является подгруппой никакой голоэдрии, содержащейся в данной. Если взять плоскость, не проходящую через точку О , и подвергнуть её всем поворотам какого-нибудь кристаллографического класса, то полученные плоскости ограничивают либо некоторый изоэдр с центром в точке, либо бесконечное выпуклое призматическое тело, либо многогранный угол. Полученные тела называются простыми формами кристаллов, в первом случае замкнутыми, во втором и третьем — открытыми. Две простые формы считают одинаковыми, если они имеют один и тот же комбинаторный тип, порождены одним и тем же кристаллографическим классом и повороты этого класса одинаковым образом связаны с формой. Существует 30 различных в этом смысле замкнутых форм и 17 открытых, каждая из них имеет вполне определённое название (см. ).

  Основываясь на первом (указанном в начале статьи) определении М., можно указать ещё четыре правильных невыпуклых многогранника (т. н. тела Пуансо), впервые найденных французским математиком Л. Пуансо в 1809. Доказательство несуществования других невыпуклых правильных М. дал французский математик О. Коши в 1811. В этих М. либо грани пересекают друг друга, либо сами грани — самопересекающиеся многоугольники. Для изучения вопросов, связанных с площадями поверхностей и объёмами таких М., удобно пользоваться именно первым определением М.

  Если у М. можно так ориентировать грани, чтобы каждое ребро в тех двух гранях, которые смежны по этому ребру, имело бы обратные направления, то его называют ориентируемым, в противном случае — неориентируемым. Для ориентируемого М. (даже если он самопересекающийся и его грани — самопересекающиеся многоугольники) можно ввести понятия площади поверхности и величины объёма. Площадью ориентируемого М. называют просто сумму площадей его граней (об определении площади самопересекающегося многоугольника см. ). Для определения объёма надо заметить, что совокупность внутренних кусков граней М. разрезает пространство на определённое число связных кусков, из которых один по отношению к М. бесконечный (внешний), а остальные конечные (внутренние). Если из внешней по отношению к М. точки провести отрезок в какую-либо внутреннюю точку внутреннего куска, то сумму «коэффициентов» тех внутренних кусков граней М., которые пересечёт этот отрезок, называют коэффициентом рассматриваемого внутреннего куска М. (она не зависит от выбора внешней точки О ); такой коэффициент есть целое положительное, отрицательное число или нуль. Сумму обычных объёмов всех внутренних кусков М., умноженных на эти их коэффициенты, называют объёмом М.