Читать «Большая Советская Энциклопедия (БЕ)» онлайн - страница 529
БСЭ БСЭ
¥ + а = ¥, если а конечно;
¥ + ¥ не имеет смысла;
¥ · а = ¥, если а ¹ 0;
¥ · 0 не имеет смысла.
Неравенства с участием ¥ не рассматриваются: бессмысленно спрашивать, больше или меньше ¥, чем конечное а.
б) При изучении действительных функций действительного переменного систему действительных чисел дополняют двумя несобственными элементами +¥ и -¥. Тогда можно положить, что -¥ < а < +¥ для любого конечного а, и сохранить основные свойства неравенств в расширенной числовой системе. Для +¥ и -¥ устанавливаются такие правила действий:
(+¥) + а = +¥, если а ¹ - ¥;
(-¥) + а = -¥, если а ¹ +¥;
(+¥) + (-¥) лишено смысла;
(+¥) ´·а = +¥, если а > 0;
(+¥) ´ а = - ¥, если а < 0;
(-¥) ´·а = -¥, если a > 0;
(-¥) ´ а = +¥, если а < 0;
(+¥) ´ 0 и (¥) ´ 0 лишены смысла.
В каждом математическом рассуждении следует отдавать себе отчёт, пользуемся мы в нём настоящей (не расширенной) числовой системой или расширенной, и в каком именно из двух указанных смыслов.
В теории множеств терминам «актуальная» и «потенциальная» Б. придают обычно глубокий смысл, не имеющий ничего общего с наименованием каждой бесконечной мощности «актуально бесконечным числом». Дело в том, что бесконечные системы математических объектов (например, натуральных или действительных чисел) никогда не задаются простым перечислением, как это возможно для конечных систем объектов. Было бы очевидным абсурдом предполагать, что кто-либо «образовал» множество натуральных чисел, перечислив их фактически «все» одно за другим. На самом деле множество натуральных чисел изучают, исходя из процесса образования его элементов переходом от n к n + 1. В случае действительных чисел уже рассмотрение одного его элемента — действительного числа — приводит к изучению процесса образования его последовательных приближённых значений, а рассмотрение всего множества действительных чисел приводит к изучению общих свойств такого рода процессов образования его элементов. В этом именно смысле сама Б. натурального ряда, или системы всех действительных чисел (континуумы), может характеризоваться как Б. лишь «потенциальная». Точке зрения потенциальной Б. противополагается взгляд на бесконечные множества как «актуально» заданные, независимо от процесса их образования. Выяснение вопроса о том, в какой мере и при каких условиях при изучении бесконечных множеств законно такое абстрагирование от процесса их образования, ещё нельзя считать законченным. См. , , .
А. Н. Колмогоров.
Бесконечность в философии
Бесконе'чность в философии, понятие, употребляемое в двух различных смыслах: качественная Б., выражаемая в законах науки и фиксирующая универсальный (всеобщий) характер связей явлений; количественная Б., выступающая как неограниченность процессов и явлений (см. в математике).
