Читать «100 великих научных открытий» онлайн - страница 231

Работа Кантора, посвященная теории множеств, вышла в 1877 г., а в 1902 г. его современник, немец Готлиб Фреге (1848–1925), опубликовал собственный труд на эту тему. Фреге пытался разработать такую систему, в которой не было бы противоречий, — такую, которая могла бы стать надежной опорой для всей математики. Но… Когда книгу уже печатали, ученый получил письмо от британского коллеги Бертрана Рассела (1872–1970), указавшего ему на явный промах. В системе Фреге можно было строить множества всех множеств, а это значило, что числовой ряд должен включать себя в себя. Скажем, толпа детей — это обычное множество, поскольку один ребенок не являет собой толпы. Но если столпотворение по условию должно складываться из всех толп мира, то и ему следует присутствовать в собственном составе. Вот эту нестыковку и нашел Рассел, о чем известил Фреге, проиллюстрировав свои претензии наглядными примерами.

Представим, будто в городке живет цирюльник, который бреет лишь тех, кто не бреется сам. Если он бреется сам, то не может брить себя. Если не бреется сам, то просто обязан брить себя. А человек, заявляющий «Я вру», лжет — значит, говорит правду, но тогда его утверждение не может быть ложным. Вот такие парадоксы. Еще один пример Рассел выискал в романе «Жизнь и мнения Тристрама Шенди», написанном Лоренсом Стерном. Герой этого произведения жалуется на то, что никогда не сможет дописать свою биографию, так как за год успевает изложить события всего одного дня. Это, конечно, соответствует здравому смыслу, рассуждал Рассел, однако противоречит теории множеств. Ведь если бы герой жил вечно, количество прожитых лет не уступало бы числу дней — между днями и годами установилось бы парное равновесие, и мощность двух бесконечных рядов сравнялась бы.

Разумеется, это письмо ужасно расстроило Фреге — ему даже пришлось сделать приписку к своему труду с признанием, что фундамент его системы рухнул еще до завершения строительства «здания». Но как бы то ни было, труды Кантора и Фреге не были напрасны. Их открытия и умозаключения подтолкнули математиков пересмотреть свои взгляды на числа, изменить подход к математическому анализу (в частности, к оперированию функциями и интегралами), разработать теорию пределов, базирующуюся на иррациональных числах.

Неевклидова геометрия

До середины XVIII в. абсолютно все были уверены, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести лишь одну прямую, параллельную первой. А профессиональные геометры точно знали: две прямые, пересеченные третьей, образующей с ними по одну сторону два угла, которые не превышают в сумме 180°, обязательно пересекутся между собой. Эти незыблемые правила придумал греческий ученый Евклид, который жил в IV–III вв. до н. э. И вот более чем через 20 столетий двое смелых математиков — венгр Янош Бойяи и россиянин Николай Лобачевский — рискнули заявить, что плоская геометрия Евклида не единственная, есть еще и геометрия объемная, где действуют несколько иные законы.