Читать «Числа: от арифметики до высшей математики» онлайн - страница 9

Как можно было бы изобразить эти три числа, чтобы они различались? Можно было бы, скажем, ставить над каждой цифрой определенное количество точек, которое обозначало бы, к какому разряду относится данная цифра, к сотням, тысячам или десяткам. Например, одна точка — единицы, две — десятки, три — сотни, четыре — тысячи:

Но такая система записи громоздка и неудобна, и индийская система основана совсем на другом принципе.

Величайшим достижением древних индийцев стало введение специального символа для отсутствующего разряда, то есть для того ряда на счетах, на котором не передвинуто направо ни одной костяшки. Арабы называли этот символ «сифр», то есть пустой, в английском языке название трансформировалось в «зеро» в русском языке этот символ получил название «ноль». Но слово «сифр» также прижилось в русском языке. От него произошли слова «цифра», «шифр», «шифровать».

Ноль обозначается как «О». Теперь двести три можно записать как 203, а две тысячи три — как 2003, двести тридцать — как 230, а две тысячи тридцать — как 2030. В каждом случае мы обозначаем нолем тот ряд на счетах, на котором не передвинуты костяшки.

(Двадцать три можно записать также как 0023 или 00023 или даже 000000023, но так никогда не делают. Принято записывать только первый по величине значащий разряд, а на счетах все ряды выше первого значащего приравнены к нулю).

На счетах отложены числа, содержащие ноль

Именно изобретение такой цифры, как ноль, и сделало так называемые арабские цифры удобными и практичными. Это изобретение стало поистине революционным. (Странно, что изобретение «нуля», то есть «ничего», оказалось столь важным для дальнейшего развития человечества. Но еще более странно то, что многие великие математики древности так и не додумались до этого «ничего».)

Переносим счеты на бумагу

Когда мы считаем, используя арабские цифры, то первое, что следует сделать, — это запомнить суммы чисел от нуля до девяти. Как мы учимся считать? Сначала запоминаем, что 1 + 1 = 2, 2 + 3 = 5, 4 + 5 = 9, 6 + 7= 13 и так далее. Очень важно также усвоить, что 0 + 0 = 0.

Когда мы считаем на счетах, запоминать ничего не надо. Необходимо только научиться считать от одного до десяти. На этом этапе преимущества расчетов при помощи чисел, записанных на бумаге, еще незаметны. Кажется, что счеты удобнее.

А теперь попробуем сложить два больших числа, например 5894 и 2578. Все, что для этого нужно, — это уметь складывать числа в пределах десяти. Сначала разобьем числа на единицы, десятки, сотни и тысячи, то есть на разряды.

Теперь разобьем число 1300 на 1000 и 300, 160 на 100 и 60, а 12 на 10 и 2. Теперь надо просто прибавить тысячи к тысячам, сотни к сотням, десятки к десяткам. В результате получаем: 8000 и 400 и 70 и 2, то есть 8472.

Упрощенно процесс сложения можно изобразить так:

Упрощение заключается в том, что мы не записываем «нули» и переносим «единицы» в следующий разряд, то есть десятки переносим в колонку десятков и так далее.