Читать «Числа: от арифметики до высшей математики» онлайн - страница 11

Для того чтобы прояснить ситуацию, нарисуем вертикальную линию и отметим на ней точкой положение города. Эту точку мы будем считать точкой отсчета или нулем. Теперь нанесем на прямую по несколько равных делений выше и ниже нулевой точки. Пусть каждое деление соответствует одному километру.

Числа выше точки отсчета (то есть к северу от города) будем называть обычными (или положительными), а числа ниже точки отсчета (то есть к югу от города) будем называть числами, меньшими нуля, или отрицательными.

Теперь нам понадобится специальный символ, который поможет различить положительные и отрицательные числа. Обычно для этого используют систему обозначений, основанную на способе, которым можно получить это число. Любое положительное число получается в результате сложения других положительных чисел. Символом сложения является знак «+», поэтому положительные числа обозначаются +1, +2, +3 и так далее. Само название «положительное число» говорит о том, что это число реально существует.

Отрицательные числа получаются как результат вычитания, скажем, при вычитании (2 - 3) мы получаем число на единицу меньше нуля. Его обозначают -1. Таким образом, отрицательные числа обозначают -1, -2, -3, и так далее.

То, что числа, меньшие нуля, получили название отрицательных, не случайно. Даже когда математики освоили операции с числами, меньшими нуля, надо было подчеркнуть, что эти числа не существуют в действительности.

Символ (+) перед положительным числом появился где-то в 1500-х годах. В те времена операцию сложения обозначали как &, например «2 плюс 3» записывали как «2&3». В скорописи значок «&» постепенно трансформировался в «φ», а потом в «+». Что же касается происхождения знака «-», то на этот счет существует множество различных теорий, но ни одна из них не кажется достаточно убедительной.

Обратите внимание, ноль не является ни положительным, ни отрицательным числом.

Теперь у нас вертикальная размеченная линия, то есть шкала, и мы можем использовать ее для операций сложения и вычитания. Поскольку положительные числа увеличиваются вверх по шкале, а операции сложения положительных чисел приводят к увеличению чисел, будем считать, что сложение — это движение вверх по шкале. Вычитание — это операция, противоположная сложению, поэтому вычитание — это движение вниз по шкале.

Предположим, надо сложить +2 и +5. Записать это выражение можно следующим образом: (+2) + (+5). Скобки нам понадобились по той причине, что необходимо отделить плюс как знак операции сложения от плюсов, обозначающих положительные числа. Но поскольку мы привыкли к тому, что обычно имеем дело с положительными числами, то часто знаки « + » перед положительными числами просто опускают. Тогда получаем: 2 + 5. Необходимо ставить знаки «+» перед положительными числами только в тех случаях, когда надо привлечь особое внимание к знаку числа.

Теперь отложим на нашей шкале два деления вверх. Это число 2. Прибавим еще 5 делений и остановимся на делении 7, то есть 2 + 5 = 7. Мы можем начать с 5 и прибавить два деления. Мы опять получим 7. Тут я еще раз хочу обратить ваше внимание на тот факт, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется.