Читать «Числа: от арифметики до высшей математики» онлайн - страница 64

Следовательно, наша задача имеет следующий ответ: (⁴√1) = +1, -1, +i, -i. Точно так же мы можем показать, что (⁴√-1) равен +√+i, -√+i, +√-i, или -√-i, то есть эта задача имеет четыре равноценных решения.

А что же такое √+i? Ответ прост. (√+i) — это такое число, которое, будучи умножено на себя самое, дает i. Поэтому (+√+i) × (+√+i) = +i Следовательно, (+√+i) × (-√+i) × (+√-i) × (-√-i) = (+ i) × (+ i) = -1.

Следовательно, (+√+i) является одним из корней четвертой степени из (-1), другими корнями являются -√+i, +√-i и -√-i.

Точно таким же образом можно показать, что любое число имеет четыре корня четвертой степени.

Мы показали, что каждое число имеет два квадратных корня и четыре корня четвертой степени. Можно предположить также, что каждое число имеет три корня третьей степени, пять корней пятой степени, шесть корней шестой степени, сорок пять корней сорок пятой степени и так далее. Это утверждение абсолютно верно, но чтобы его доказать, потребуется сложный математический аппарат, которым мы не владеем, поэтому пока примем его на веру.

Правда, мы можем проверить это утверждение для корня третьей степени. Чему, например, равен корень кубический из 1, или (³√+1)? Во первых, (+1) × (+1) × (+1) = +1, то есть +1 является одним из кубических корней из 1.

А чему равны остальные два? Перейдем в область отрицательных чисел.

(-1) × (-1) × (-1) = ( + 1) × (-1) = -1

Таким образом, -1 не является корнем кубическим из 1. Более того, можно показать, что ни одно действительное число, а также ни одно мнимое (будь то -i или -И), возведенное в третью степень, не дает в результате + 1.

Значит, корень всего один, а других двух просто нет?

Эти два корня существуют, но в области комплексных чисел. Я просто приведу их значения, а вы сможете проверить, чему равны эти числа, возведенные в куб. Остальные два корня кубических из + 1 — это (-1/2 + 1/2√3i) и (-1/2 - 1/2√3i). Давайте проверим это утверждение.

Если (-1/2 + 1/2√3i) — один из кубических корней +1, то это значит, что (-1/2 + 1/2√3i)³ или (-1/2 + 1/2√3i) × (-1/2 + 1/2√3i) × (-1/2 + 1/2√3i) равно 1. Умножение можно произвести по той методике, которая описана выше.

Два промежуточных мнимых результата можно сложить, сумма чисел (-1/4√3i) и (-1/4√3i) равна (-1/2√3i). Что касается 3/4i², то это действительное число, равное -3/4.Теперь сложим два действительных составляющих этого выражения: 3/4 - 1/4 = -1/2, таким образом, результат умножения -1/2 - 1/2√3i.

Этот результат нужно снова умножить на (-1/2 + 1/2√3i).

Две мнимые составляющие этого выражения (-1/4√3i) и (-1/4√3i) в сумме дают 0, так что ими можно пренебречь. Число 3/4i² является действительным числом, так как i² = -1, то есть 3/4i² = -3/4. Добавим к 3/4оставшийся промежуточный результат 1/4 и получим 1. Итак, (-1/2 + 1/2√3i)³ равно 1.

Точно так же можно возвести в третью степень число (-1/2 - 1/2√3i).