Читать «Числа: от арифметики до высшей математики» онлайн - страница 61

Такая схема сработала в прошлый раз, попробуем использовать ее и сейчас. Проведем через нулевую отметку еще одну линию, перпендикулярную первой числовой оси. Справа отложим через равные интервалы + li, +2i, +3i, +4i, +5i, +6i, …, а слева -li, —2i, -3i, —4i, —5i, -5i… Мы получили две числовые оси:

Числовые оси для действительных и мнимых чисел

Например, вместо знаков «+» и «-» мы можем использовать буквенные обозначения сторон света, как на компасе. Условимся, что положительные действительные числа — это N-числа, отрицательные действительные числа — это S-числа, положительные мнимые числа — это W-числа, а отрицательные мнимые числа — это Е-числа.

В нашей схеме совсем не нужно использовать странный термин «мнимое число», поскольку у нас все стороны света — реальны. Но у этого термина глубокие исторические корни, и теперь, пожалуй, поздновато менять название.

Теперь, используя «числа по компасу», мы можем создать свою собственную самодостаточную систему расчетов (создание такой эффективной системы — это цель многих математиков). Таблица умножения в нашей системе будет иметь такой вид:

Умножаем на N вращением в направлении 0º

Умножаем на Е вращением на 90° по часовой стрелке

И хотя наша таблица имеет довольно странный вид, у нее есть простое геометрическое толкование, которое представлено ниже на рисунках.

Я совсем не утверждаю, что только наша система справедлива, могут существовать и другие системы, в такой же мере справедливые и наглядные. Просто предложенная система удобна и используется.

Новые точки по компасу

Раз уж мы заговорили о севере, юге, западе и востоке, то следует вспомнить и о таких направлениях, как северо-запад, юго- восток и так далее. Поскольку результат умножения действительных чисел на мнимые никогда не будет ложиться ни на одну из осей (север—юг или восток—запад). А как обстоят дела со сложением, например, чему равна сумма 1 + i? Ученые-математики не удосужились предложить специальный символ для этого выражения, поэтому его оставляют в виде 1 + i, но в нашей системе координат его можно представить наглядно.Теперь, используя «числа по компасу», мы можем создать свою собственную самодостаточную систему расчетов (создание такой эффективной системы — это цель многих математиков). Таблица умножения в нашей системе будет иметь такой вид:

Умножение на S вращает ось на 180°

E × S = W

S × S = N

W × S = E

N × S = S

Умножение на W вращает ось на 270°

E × W = N

S × W = E

W × W = S

N × W = W

N = положительное действительное число, например +1.

Е = положительное мнимое число, например +i.

S = отрицательное действительное число, например —1.

W = отрицательное мнимое число, например —i.

Теперь давайте снова построим две оси, но вместо того, чтобы проставлять значения против каждого деления, на этот раз проведем через каждое деление новую линию.

Предположим, через каждое деление на вертикальной оси, то есть на оси действительных чисел, мы проводим горизонтальную линию. Проводим линию через деление +1, и на всей протяженности этой линии значение действительного числа равно +1. Следующую горизонтальную линию проводим через +2, и на всей протяженности этой линии значение действительного числа равно +2. Следующую горизонтальную линию проводим через -3, и на всей протяженности этой линии значение действительного числа равно -3. Таких линий можно провести сколь угодно много.