Читать «Числа: от арифметики до высшей математики» онлайн - страница 60

Отлично, тогда мы можем предложить такую схему. Любое отрицательное число равно произведению соответствующего положительного числа на -1. Другими словами, -64 = 64 × (-1); -276 = 276× (-1); -1,98 = 1,98 × (-1) и так далее.

Квадратный корень из любого числа, например из -172, можно разбить на сомножители: √-172 = √172 × √-1. Следовательно, если мы найдем квадратный корень из -1, мы сможем найти квадратный корень любого отрицательного числа. Но тут мы опять сталкиваемся с неразрешимой, казалось бы, задачей:

1 × 1 = 1; (-1) × (-1) = 1.

Не существует такого числа, которое при перемножении на себя самое дало бы -1.

Следовательно, единственное, что мы можем сделать, — это придумать такое число, Мы можем договориться, что символ # обозначает, что # × # равно отрицательному числу. Тогда #1 × #1 = -1. Это выражение справедливо по определению, а поскольку оно не противоречит ни одному из математических постулатов, то нет никаких оснований, чтобы его не использовать.

Разумеется, такое число является нереальным, воображаемым. Мы легко можем себе представить, что такое +$1 и -$1. +$1 — это доход в $1, а -$1 — это расход в $1. Но как представить себе #1$? Математики, которые первыми стали работать с этими новыми числами, назвали их мнимыми. В отличие от мнимых чисел обычные отрицательные и положительные числа, как рациональные, так и иррациональные, называются действительными.

Математики не стали изобретать для этих чисел нового знака, наподобие знака + или -, хотя мне кажется, это было бы целесообразно. Вместо этого они обозначили √-1 буквенным символом «i». Другими словами, i × i = -1, или √-1 = i. Кроме того, -i × -i также равняется i², то есть -1. Мы также должны записать √-1 = -i.

И последнее, -i × i = -i² = -(-1) = 1.

Теперь мы легко можем извлечь квадратный корень из любого отрицательного числа.

Величина √-4 равна √4 × √—1, или ±2 × i, что можно просто записать как ±2i.

Точно так же величина √-64 равна √64 × √-1, или ±8 × i, что можно просто записать как ±8i, а величина √-15 равна √15 × √-1, или ±3,8729832 × i, что можно просто записать как ±3,8729832i.

Числа и координаты по компасу

Однако теперь у нас есть отличный повод для возмущения. Что бы там ни говорили, как бы ни уславливались, совершенно непонятно, что такое эти мнимые числа, как можно их себе представить.

На самом деле такое число должно обозначать то, что мы ему приписали, то, о чем мы условились заранее. Не надо забывать, что числа — это изобретение человека и их цель — облегчить познание Вселенной, а со своими созданиями человек вправе поступать так, как считает нужным.

Вспомним, что у древних греков не было отрицательных чисел. Для них -1 была не менее таинственна и непонятна, чем для нас √—1, когда мы приступили к изучению мнимых чисел. Обратившись к отрицательным числам, мы использовали числовую ось, на которой вверх от нулевой отметки располагались положительные числа, а вниз — отрицательные (см. главу 2).