Читать «Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением» онлайн - страница 135

28

Согласно одной забавной легенде, один скептик как-то пожаловался Гильберту, что из его геометрии совершенно невозможно понять, что имеется в виду под словами «точки», «прямые» и «плоскости». В аксиомах эти понятия выглядят абсолютно пустыми словами, лишенными всякого наглядного смысла. «Совершенно верно, — будто бы ответил Гильберт коллеге, — о существе понятий в формальной математике речь не идет». Можно, по Гильберту, в его системе аксиом заменить слова «точки, прямые и плоскости» словами «столы, стулья и пивные кружки».

29

Вопрос о том, конечным или бесконечным является число нулей в десятичном представлении числа π, является отнюдь не праздным. Представим себе следующую конструкцию множества: первому нулю, найденному в десятичном представлении π, приписывают число 1 множества. Как только обнаруживается второй ноль, к образованному множеству добавляют ½. После нахождения третьего нуля в десятичном представлении числа π к множеству добавляют ⅓. Вообще говоря, в множество добавляют 1/n, когда находят n нулей в десятичном представлении числа π. Вопрос о том, конечным или бесконечным является число нулей в десятичном представлении числа π, равнозначен, таким образом, вопросу о том, состоит ли наше множество из конечного или бесконечного числа элементов.

Этот вопрос имеет непосредственное отношение к аксиомам исчисления чисел с бесконечным десятичным представлением. Полученное нами множество состоит из положительных дробей и должно, согласно одной основополагающей аксиоме, обладать так называемой точной нижней границей, или нижней гранью. Под нижней гранью имеют в виду число x с бесконечным десятичным представлением, обладающее следующими двумя свойствами: с одной стороны, любая дробь множества не меньше чем x, а с другой стороны, для каждого y, большего, чем x, существует принадлежащая множеству дробь, меньшая чем y.

Однако чему равна нижняя грань x?

Если число нулей в десятичном представлении числа π конечно, то x = 1/m той положительной дроби, где m есть число нулей в десятичном представлении числа π.

Если же в десятичном представлении числа π содержится бесконечное число нулей, то x = 0.

Если мы не можем допустить существования «ignorabimus», то Гильберт должен смочь решить, является x положительным числом или нет. Таким образом, пустяковый и незначительный, на первый взгляд, вопрос привел к трудным проблемам, потрясшим основы мышления.