Читать «Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением» онлайн - страница 132

Однако деление остатка 12 на 15 невыполнимо, так как 15 ни одного раза не содержится в 12. Адам Ризе, научивший нас позиционной записи, смог выполнить деление дальше, воспользовавшись числом 0. Он добавил к 12 число 0, то есть умножил остаток 12 на 10, и смог таким образом довести деление до конца, разделив число 120 без остатка на 15. В двух строках это действие выглядит так:

Результат он записывает в виде десятичного числа 2,8. Дети в школе учатся записывать обе эти строки так: сначала записывают деление 42 на 15 как

То есть аккуратно записывают остаток 12 под делимым 42. Затем к 12 «подвешивают» 0, а к частному 2 пририсовывают запятую:

и делают следующий шаг: делят 120 на 15, получают число 8, которое записывают после запятой, а под числом 120 подписывают остаток 0:

При делении 42 на 13 начало выглядит похоже:

Однако в этом случае получается еще один остаток. В этом случае Адам Ризе предписывает нам снова приписать 0 к остатку и продолжить деление:

Снова получается остаток. Следовательно, надо продолжать процедуру дальше:

Конца этому процессу не видно. Но, во всяком случае, снова появился первый остаток — 3, значит, вся предыдущая процедура будет снова и снова повторяться до бесконечности. В результате мы получим «бесконечную десятичную дробь»

42: 13 = 3,230769230769230769230769230769230769230769…,

в которой последовательность цифр 230769 представляет собой так называемый период.

Ясно, что при делении целых чисел всегда получаются периодические бесконечные дроби, если деление не обрывают раньше, так как в каком-то месте должен получиться остаток, который уже получался в предыдущих делениях; существует лишь конечное число возможных остатков, а именно их число равно делителю.

20

Для знатоков предмета: число 10 должно быть так называемым «первообразным» корнем такого делителя. Другими словами: если обозначить делитель буквой m и делить ряд степеней 10, то лишь при делении числа 10^{m — 1} на число m получается остаток 1. Например, число 10 является первообразным корнем делителей 7 или 113, но не является первообразным корнем делителя 3 (уже 10: 3 дает остаток 1) или делителя 13 (13 × 76923 = = 999 999, то есть уже при делении 10⁶ на 13 получается остаток 1).

21

Если повезет, то может случиться так, что намного меньшее число, выступающее в роли делителя, приведет к этой чрезвычайно длинной и, как представляется, случайной последовательности — в лучшем случае числа, состоящего «только» из пары сотен разрядов. Конечно, это намного меньше числа, состоящего из 10²⁰⁰ девяток, то есть из 10²⁰⁰ разрядов. Однако 10 должно быть первообразным корнем этого приблизительно двухсотзначного делителя.

22

Прорези могут быть прикрыты расположенной снизу длинной линейкой: если линейку сдвигают вверх, под ней обнаруживаются пять прорезей, и в них нанесены цифры. При этом все устроено так, что сумма цифр в парах прорезей — верхней и нижней — равна девяти. Если сверху прочитывается число 31 415, которое прикрывается сдвинутой кверху линейкой, то в открывшихся прорезях видны цифры 68 584. Мы назовем это число «сопряженным» с числом 31 415.