Читать «Математический аппарат инженера» онлайн - страница 9

Для многих систем дискретность является основным свойством их функционирования. В некоторые моменты времени происходит переход их одного состояния в другое, последовательно которых представляет наибольший интерес, а процессы между этими состояниями либо отодвигаются на второй план, либо и вовсе не имеют

- 14 -

значения. В таких случаях дискретная модель представляет собой естественное отображение системы в том смысле, что дискретные моменты времени определяются изменением ее состояний. Более того, вместо времени (или другой независимой переменной) можно рассматривать последовательность состояний, различающихся каким-либо другим признаком. Типичным представителем дискретных моделей этого типа являются, например, конечные автоматы.

Для представления математических моделей широко используется аппарат теории множеств, матриц и графов. Соответственно различают теоретико-множественные, матричные и топологические модели. В последнее время в качестве математических моделей реальных объектов находят применение различные алгебраические структуры: группы, кольца, поля и т.п.

7. Математические методы. После того как математическая модель построена, дальнейшая работа состоит в применении соответствующих математических методов с целью получения необходимых характеристик данной модели, а значит. И исследуемого реального объекта. Большое разнообразие математических методов можно свести к тем основным видам: аналитическим, графическим и численным.

Получение характеристик модели в аналитической форме желательно во многих отношениях. Преде всего, представляется возможным провести исследование в общем виде, независимо от численных значений параметров системы. Аналитические зависимости позволяют использовать эффективные методы оптимизации и получить соотношения, характеризующие поведение системы при изменении ее параметров. Не менее важно и то, что при подстановке в аналитические выражения численных значений можно контролировать точность вычислений. Однако аналитические методы применимы только для простейших моделей. Так, общее разложение определителя системы шести линейных уравнений содержит сотни членов, а для десяти уравнений число членов определителя может достигать нескольких миллионов, решения алгебраических уравнений выше четвертой степени в общем случае не представимы в радикалах. Из-за громоздкости аналитических выражений или невозможности их получения значение аналитических методов в инженерной практике сильно ограничивается. В то же время аналитическая форма является основной при изложении и развитии математического аппарата в общем виде.