Читать «Математический аппарат инженера» онлайн - страница 7

Применение формального языка математики оправдано всегда, если речь идет о сложных вещах, изложение которых на естественном языке требует синтаксически сложных предложений и может привести к неточному их толкованию. Важно также и то, что работа с формальными языками развивает способности к логическому мышлению в любой прикладной области.

6. Математические модели. Реальные объекты, с которыми имеет дело инженер, обладают бесконечным множеством свойств и характеризуются бесконечным множеством связей как внутри самого объекта, так и вне его (связи с другими объектами и окружающей средой). Переход к соответствующим моделям является наиболее сложным и ответственным этапом применения математического аппарата в инженерном деле. В значительной мере успешное решение этой задачи определяется опытом и интуицией специалиста в данной конкретной области. В то же время можно указать и ряд общих требований, которые обычно предъявляются к математической модели: достаточная точность, предельная простота и стандартная форма.

Обеспечить достаточную точность модели — это значит учесть при идеализации реального объекта все существенные свойства и связи, отвлекаясь от второстепенных. Несущественных свойств и связей. Решение этого вопроса зависит не только от характера самого объекта, но и от поставленной задачи. Поэтому для одного и того же объекта может потребоваться не одна, а несколько моделей, обслуживающих различные задачи при его проектировании или исследовании. Например, усилительная электронная цепь при определении начального режима описывается нелинейными алгебраическими уравнениями, а в режиме усиления слабых сигналов — линейными дифференциальными уравнениями.

- 12 -

Для определения нелинейных искажений такой цепи в ее модели необходимо учесть нелинейность характеристик электронных ламп или транзисторов.

Представляя реальный объект с достаточной точностью, математическая модель в то же время должна быть оп возможности проще, так как дальнейшая работа со сложной моделью не только затруднительна, но может оказаться и практически невозможной. Противоречивость этих требований нередко вынуждает поступиться точностью в интересах простоты, однако такой компромисс допустим только в тех пределах, при которых модель еще отражает существенные свойства реального объекта. Разработка методов упрощения реальных объектов и систем с целью построения предельно простых математических моделей является одной и центральных задач любой прикладной области.

При моделировании реальных объектов целесообразно ориентироваться на математические модели стандартного вида, которые обеспечены соответствующим аппаратом. Физические процессы характеризуются пространственно-временными соотношениями и в общем случае описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Важным методом упрощения модели является представление объекта или совокупности объектов в виде системы таких ее частей (компонентов), связь между которыми можно с достаточной точностью охарактеризовать функциями только одно переменной (времени). В одних случаях этот путь предсказывается самой структурой объекта (например, электронные цепи или системы управления), в других случаях требуется искусственное расчленение объекта на отдельные части (например, балку с распределенной нагрузкой представляют в виде участков с сосредоточенными нагрузками). Если известны модели компонентов в виде некоторых зависимостей относительно их внешних связей, то модель системы можно представить обыкновенными дифференциальными уравнениями. Тем самым осуществляется переход от модели с распределенными параметрами к более простой модели с сосредоточенными параметрами.