Читать «Математический аппарат инженера» онлайн - страница 8

Моделирование компонентов системы само по себе может представлять серьезные трудности, однако эта задача всегда проще, чем рассмотрение системы в целом. Кроме того, несмотря на огромное разнообразие систем, набор различных компонентов весьма ограничен, и их модели, полученные один раз в стандартной форме, могут затем многократно использоваться при моделировании сложных систем. В общем случае модели компонентов характеризуются нелинейными зависимостями. Однако многие задачи допускают их линеаризацию, что соответственно сильно упрощает и модели систем, которые в таких случаях описывается линейными уравнениями. Если параметры компонентов можно считать не зависящими от времени, то система представляет стационарной моделью

- 13 -

в виде дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Параметры системы и приложенные к ней воздействия можно рассматривать как детерминированные или случайные величины, что приводит соответственно к детерминированным или стохастическим моделям. Выбор той или иной модели зависит от характера протекающих процессов и поставленной задачи исследования.

Стохастические модели имеют особенно важное значение при исследовании и проектировании больших систем со сложными связями и трудно учитываемыми свойствами. В подобных ситуациях близость математической модели к исходной системе усиливается приданием ей вероятностного или статистического характера, учитывающего существенные свойства и связи, которые не поддаются детерминированному описанию.

Реальные физические процессы протекают в непрерывно изменяющимся времени, которое является аргументом соответствующих им функций. Роль непрерывного аргумента в различных задачах исследования или проектирования могут играть и другие физические величины (расстояние, объем, масса, температура и т.п.). При этом математические модели, типичными представителями которых являются дифференциальные уравнения, также называют непрерывными. Однако во многих случаях целесообразно рассматривать состояние системы только для последовательности дискретных значений независимой переменной (времени), отвлекаясь от характера происходящих процессов в промежутке между этими значениями. Этот подход обслуживают различные типы дискретных моделей.

Важным типом дискретных моделей являются конечно-разностные дифференциальные уравнения, которые описывают процессы в исследуемой системе относительно конечных (не обязательно равных)приращений независимой переменной. Такая модель представляет собой как бы моментальные фотографии состояний системы, выполненные последовательно через некоторые промежутки времени (или другой независимой перемененной). Ясно, что точность моделирования тем выше, чем меньше приращения независимой переменной, но уменьшение интервалов между дискретными значениями неизбежно приводит к увеличению объема вычислений. Представление непрерывных систем дискретными моделями всегда связано с решением вопроса об оптимальном выборе шага дискретности как компромисса между точностью и простотой.