Читать «Математический аппарат инженера» онлайн - страница 67

1) состояния σ_i и σ_j автомата явно различимы, если различаются соответствующие, им строки в таблице выходов;

2) состояния σ_i и σ_j автомата явно эквививалентны, если соответствующие им строки в таблице переходов и таблице выходов одинаковы или становятся одинаковыми при замене каждого номера σ_i на номер σ_j (или наоборот).

Например, для автомата, граф которого изображен на рис. 240, а, общая таблица переходов имеет вид:

- 573 -

Из этой таблицы следует, что состояния из множества {0, 3, 4}являются явно различимыми с любым состоянием из множества {1, 2, 5, 6}. Поэтому следует искать эквивалентные состояния только среди элементов, принадлежащих одному из этих множеств. Так как строки 0 и 4 одинаковы, а строки 1 и 5 становятся одинаковыми при замене цифры в числителе 1 на 5 (или 5 на 1), то явно эквивалентными являются пары состояний {0,4} И {1,5}.

Объединяя эквивалентные состояния в автомате М₁, получаем эквивалентный автомат М₂ с меньшим числом состоянии, который в любом состоянии нельзя отличить от исходного, наблюдая сигналы на выходах. Очевидно, автоматы М₁ и М₂ являются эквивалентными, если каждому состоянию σ_i , автомата М₁ соответствует, по крайней мере, одно эквивалентное ему состояние автомата M₂, и если каждому состоянию σ_j , автомата М₂ соответствует хотя бы одно эквивалентное ему состояние автомата М₁.

Эквивалентные состояния, например, σ_i и σ_j , удобно объединять по общей таблице переходов, вычеркивая строку σ_j , и заменяя везде в числителе числа σ_j на σ_i . После объединения пар явно эквивалентных состояний может оказаться возможным снова обнаружить такие состояния, которые также объединяются с помощью аналогичной процедуры. В результате последовательного объединения приходим к сокращенной таблице переходов, которой соответствует сокращенный автомат, эквивалентный исходному, но имеющий меньшее число состоянии. Так, для рассматриваемого примера получаем последовательно:

- 574 -

Первая таблица соответствует объединению пар эквивалентных состоянии {0,4} и {1, 5}, а вторая - объединению пары {2, 6}. Сокращенный автомат содержит только четыре состояния (рис.240, б).

8. Эквивалентное разбиение. Если известны все пары эквивалентных состояний конечного автомата, то тем самым на множестве S его состояний определено отношение эквивалентности, которому соответствует некоторое разбиение на классы эквивалентности S = {S₁, S₂ ..., S_ν}. При этом состояние, не имеющее эквивалентного ему состояния, составляет класс эквивалентности, единственным элементом которого является это состояние. Обозначим через σ^'₀, σ^'₁, ..., σ^'_ν представители классов эквивалентности и через М' – автомат, множеством состояний которого является семейство представителей S^' = {σ^'₀, σ^'₁, ..., σ^'_ν}. Можно утверждать, что автоматы М и М' эквивалентны (М ~ М'), причем М' имеет минимальное число состояний, т. е. является минцмальной формой автомата.