Читать «Математический аппарат инженера» онлайн - страница 58

При рассмотрении конечных автоматов, контактных и логических схем используются различные способы представления логических функций: многомерные кубы, карты Карно, символика s-кубов. На основе таких представлений излагаются основные методы мини

- 503 -

мизации булевых функций и их применение к синтезу контактных и логических схем.

В последнее время, наряду с двоичными функциональными элементами, разработаны и находят практическое применение многозначные элементы, характеризующиеся рядом положительных особенностей. В связи с этим сильно возросло значение многозначной логики, изложению основных положений которой посвящен специальный параграф. Там же кратко представлены другие логики, развившейся в связи с техническими и биологическими проблемами: пороговая, мажоритарная, нейронная, потенциально-импульсная и фазоимпульсная.

Значительное внимание в настоящей главе уделяется логике высказываний и логике предикатов. Символический язык этих разделов математической логики широко используется не только в самой математике, но и в технической литературе. Кроме того можно полагать, что формальные методы логического обоснования станут со временем необходимым элементом при решении практических задач, а значит, и составной частью математического аппарата инженера. Этому в значительной мере способствует развитие автоматизации проектирования с применением вычислительной техники.

В заключительном параграфе приводятся некоторые сведения из теории алгоритмов, которые могут представлять интерес для инженеров в связи с задачами алгоритмизации процессов производства и проектирования.

1. Логические функции

1. Логические функции как отображения. Отличительная особенность логических функций состоит в том, что они принимают значения в конечных множествах. Иначе говоря, область значений логической функции всегда представляет собой конечную совокупность чисел, символов, понятий, свойств и, вообще, любых объектов. Если область значений функции содержит k различных элементов, то она называется k-значной функцией.

Чтобы различать элементы области значений функции, их необходимо как-то отметить. Удобнее всего элементы перенумеровать числами от 1 до k или обозначить какими-нибудь символами (например, буквами). Перечень всех символов, соответствующих области значений, называют алфавитом, а сами символы — буквами этого алфавита (буквами могут служить как собственно буквы латинского, русского или другого алфавита, так и порядковые числа или любые другие символы).

- 504 -

Логические функции могут зависеть от одной, двух и, вообще, любого числа переменных (аргументов) x₁, x₂, ..., x_n. В отличие от самой функции, аргументы могут принимать значения из элементов как конечных, так и бесконечных множеств.

В теоретико-множественном смысле логическая функция n переменных y = f(x₁, x₂, ..., x_n) представляет собой отображение множества наборов (n-мерных векторов, кортежей, последовательностей) вида (x₁, x₂, ..., x_n), являющегося областью ее определения, на множестве ее значений N = {α₁, α₂, ..., α_n}. Логическую функцию можно также рассматривать как операцию, заданную законом композиции X₁, X₂, ..., X_n где - множества, на которых определены аргументы x₁ ∈ X₁, x₂ ∈ X₂, ..., x_n ∈ X_n.