Читать «Математический аппарат инженера» онлайн - страница 49

Статистические вероятности широко используют на практике. Например, при изучении большого числа данных установлено, что частота рождения девочек равна 0,482. Если известно, что из 10000 конденсаторов бракованных оказалось 116, то в аналогичных условиях следует ожидать появление негодного конденсатора с вероятностью 0,0116 или 1,16%.

5. Множество событий. Совокупность всех возможных исходов при данном комплексе условий образует множество элементарных событий. Любое событие рассматривается как подмножество этого основного множества (универсума).

Например, множество всех исходов при бросании двух игральных костей содержит 6·6 = 36 элементов. Каждый из них переставляет собой упорядоченную пару (a, b), где a и b — числа очков, выпавших соответственно при бросании первой и второй кости. Событию, заключающемуся в выпадании дубля, соответствует А (дубль) = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) } а выпаданию в сумме меньше шести очков — подмножество В (меньше 6 очков) = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1) }.

Выбор трех из пяти кандидатов {a, b, c, d, e} имеет C₅³ = 10 исходов, которые и образуют множество элементарных событий. Выбору кандидата a (среди трех кандидатов) соответствует событие

- 76 -

A (выбор a) = {(abc), (abd), (abe), (acd), (ace), (ade) }, выбору кандидатов b и d — событие B (выбор b и d) = {(abd), (bcd), (bde)}, выбору только одного из кандидатов b или d (но не обоих вместе) — событие С (выбору или b или d) = {(abc), (abe), (acd), (ade), (bce), (cde)}.

6. Несовместные события. События А и В называют несовместными, если соответствующие им подмножества не пересекаются, т.е. A∩B = ∅ (например, выпадение пр бросании двух игральных костей дубля и нечетного числа очков). Если из осуществления события А неизбежно следует событие В, то А является подмножеством В, т.е. A ⊂ B или A ∩ B = A (например, из выпадания дубля следует событие, заключающееся в выпадании четного числа очков). Подобные события всегда совместные.

Событие, заключающееся в реализации несовместных событий А или В, соответствует их объединению A ∪ B или дизъюнктивной сумме A + B и его вероятность равна сумме вероятностей P(A) и P(B), т.е.

P(A + B) = P(A) + P(B).

Действительно, если m_A и m_B — числа исходов, благоприятствующих событиям А и В, то появлению события А или В будет благоприятствовать m_A + m_B исходов из общего числа n исходов, поэтому

Этот вывод естественно обобщается на любое число несовместных событий, т.е.

P(A₁ + A₂ + ... + A_n) = P(A₁) + P(A₂) + ... + P(A_n).

Если объединение попарно несовместных событий составляет основное множество, то появление одного из них является достоверным событием, т.е. P(A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ A_n) = P(A₁ + A₂ + ... + A_n) = 1. Говорят, что такие события образуют полную систему событий, а их вероятности удовлетворяют нормирующему условию