Читать «Математический аппарат инженера» онлайн - страница 18

- 25 -

Для любого бинарного отношения можно записать соответствующее ему соотношение (для отношения неравенства соотношением будет х < у, для отношения «быть братом» соотношение запишется как «х брат у»). В общем виде соотношение можно записать как хАу, где А - отношение, устанавливающее связь между элементом х из множества Х (х ∈ X) и элементом y из множества Y (y ∈ Y). Ясно, что отношение полностью определяется множеством всех пар элементов (х, у), для которых оно имеет место. Поэтому любое бинарное отношение А можно рассматривать как множество упорядоченных пар (х, у).

Отношения могут обладать некоторыми общими свойствами (например, отношение включения и отношение равенства транзитивны). Определяя эти свойства и комбинируя их, можно выделить важные типы отношений, изучение которых в общем виде заменяет рассмотрение огромного множества частных отношений.

10. Функции как отношения. Функция f, ставящая каждому числу х (аргументу) в соответствие определенное число (значение функции) у=f(х), также является бинарным отношением.

Обобщая это понятие, можно считать функцией такое бинарное отношение f, которое каждому элементу х из множества Х ставит в соответствие один и только один элемент из множества Y, т. е. хfу. При этом считают, что элементами множеств Х и Y могут быть объекты любой природы, а не только числа.

Функцией в таком общем понимании будет, например, соответствие между деталями какого-либо механизма и их массой (каждой детали соответствует ее масса), между человеком и его фамилией и т. п. В то же время такие отношения как неравенство (<) или «быть братом» функциями не являются, так как для каждого числа можно указать бесконечные множества превышающих его чисел, а человек может иметь несколько братьев или совсем их не иметь.

Обобщение понятия функции явилось одним из отправных моментов нового важного раздела современной математики - функционального анализа. Это понятие имеет огромное прикладное значение, так как позволяет рассматривать функциональные отношения между объектами любой природы.

Задачи и упражнения

1. Какие из приведенных ниже соотношений неверны и почему?

а) x ∈ {2, a, x}; б) 3 ∈ {1, {2, 3}, 4}; в) x ∈ {1, sinx}; г) {x, y} ∈ {a, {x, y}, b}.

2. Равны ли между собой множества А и В (если нет, то почему)?

а) A = {2, 5, 4}, B = {5, 4, 2};

б) A = {1, 2, 4, 2}, B = {1, 2, 4};

в) A = {2, 4, 5}, B = {2, 4, 3};

г) A = { 1, {2, 5}, 6}, B = {1, {5, 2}, 6};

д) A = { 1, {2, 5}, 6}, B = {1, 2, 5, 6};

3. Связаны ли множества А и В отношением включения (если да, то укажите, какое из них является подмножеством другого)?

- 26 -

а) A = {a, b, d}, B = {a, b, c, d};

б) A = {a, c, d, e}, B = {a, e, c}

в) A = {c, d, e}, B = {c, a}

4. В каких отношениях народятся между собой следующие три множества: