Читать «Математический аппарат инженера» онлайн - страница 16

5. Задание множеств.

Множество A = {a₁, a₂, ... a_n} можно задать простым перечислением его элементов. Например, спецификация задает множество деталей изделия, каталог — множество книг в библиотеке. Но этот способ не пригоден для задания бесконечных множеств и даже в случае конечных множеств часто практически нереализуем.

Рассмотрим в качестве примера фасад 16-этажного дома с 38 окнами в каждом этаже. В вечернее время каждое из окон дома может быть освещено или затемнено, т. е. 2⁶⁰⁸ ≈ 10¹⁸³ находиться в двух состояниях. Определенные совокупности освещенных окон можно рассматривать как некоторые образы. Считая все окна (их число равно 38*16=608) различными по их расположению на фасаде, каждый такой образ можно связать с соответствующим подмножеством освещенных окон. Тогда количество всех образов равно количеству элементов множества подмножеств всех окон, т. е. . Полученное число настолько большое, что его трудно даже представить. Оно несравнимо больше числа атомов во всей видимой вселенной, которое равно примерно 10³⁷. Если бы каждый атом превратился во вселенную, то и тогда на один атом приходилось бы 10³⁷ образов 10¹⁸³ = 10³⁷ *10³⁷ * 10³⁷). Поэтому, хотя множество всех образов конечно и любой из них можно легко определить, о задании подобных множеств перечислением их элементов не может быть и речи.

Определяющее свойство. Другой способ задания множества состоит в описании элементов определяющим свойством Р(х) (формой от х), общим для всех элементов. Обычно Р(х) — это высказывание, в котором что-то утверждается об х, или некоторая функция

- 23 -

переменной х. Если при замене х на а высказывание Р(а) становится истинным или функция в заданной области определения удовлетворяется, то а есть элемент данного множества. Множество, заданное с помощью формы Р(х), обозначается как Х={х | Р(х)}, или Х={х :Р(х)}, причем а {х | Р(х)}, если Р(а) истинно. Например {х | х² = 2} - множество чисел, квадрат которых равен двум, {х | х есть животное с хоботом} - множество слонов.

Обычно уже в самом определении конкретного множества явно или неявно ограничивается совокупность допустимых объектов. Так, множество слонов следует искать среди млекопитающих, а не среди рыб и тем более не среди планет. Если речь идет о множестве чисел, делящихся на 3, то ясно, что оно является подмножеством целых чисел. Удобно совокупность допустимых объектов зафиксировать явным образом и считать, что рассматриваемые множества являются подмножествами этой совокупности. Ее называют основным множеством (универсумом) и обычно обозначают через U. Так, универсумом арифметики служат числа, зоологии - мир животных, лингвистики - слова и т.п.