Читать «Математический аппарат инженера» онлайн - страница 20

в) Запишите для каждого из элементов s ( s = a, b, ... , i) множество B_s, состоящее из цифр, в написании которых используется элемент s (например, B_f = {0, 6, 7, 8}). Какие элементы используются наиболее редко и наиболее часто?

Рис. 4. Круги Эйлера к задаче 12.

г) Считая мерой близости цифр количество общих элементов, укажите цифры, наименее и наиболее близкие цифре 3. Какой операции над множествами A_k соответствует множество, определяющее меру близости цифр?

14. В химическом продукте могут оказаться примеси четырех видов, обозначенных через a, b, c, d. Приняв в качестве исходного множества A = {a, b, c, d}, образуйте множество всех его подмножеств Р(А). Дайте содержательное истолкование этого множества и его элементов. Каким ситуациям соответствуют, в частности, несобственные подмножества?

Рис. 5. Начертание цифр почтового индекса:

а- элементы исходного множества; б — цифры.

15. Докажите, что для конечного множества, состоящего из n элементов, множество всех его подмножеств содержит 2ⁿ элементов.

16. Проверьте свойство транзитивности отношения включения на примере множеств X = {b, c}, Y = {a, b, c}, Z = {b}.

17. Дайте словесное описание каждому из следующих множеств:

а) {x|x — точка плоскости, находящаяся на расстоянии r от начала координат};

б) {x|x² — 4x + 3 = 0};

в) {x|x — инженер нашего отдела};

г) {x|x ∈ A и z ∈ B }; A — множество транзисторов; В — множество деталей радиоприемника;

д) {x ∈ R |x = 3k, k ∈ N} N — множество натуральных чисел;

е) {x² + 1 |x - целое число}

18. Покажите, что для любых множеств А и В справедливо соотношение ∅ ⊂ A ∩ B ⊂ A ∪ B

19. Покажите, что для любого множества А справедливы соотношения: A + A = ∅; A + ∅ = A.

20. Покажите, что из соотношения A ∩ B = C следует C ⊂ A и C ⊂ B.

21. Пусть M₁ и M₂ — соответственно множества деталей первого и второго механизмов, а Р — множество пластмассовых деталей. Запишите в виде теоретико-множественных соотношений следующие условия.

- 28 -

а) Среди деталей первого механизма имеются все пластмассовые детали.

б) Одинаковые детали, входящие в оба механизма, могут быть только пластмассовыми.

в) Во втором механизме нет пластмассовых деталей.

22. Является ли совокупность полученных в предыдущей задаче соотношений (Р ⊂ M₁, M₁ ∩ M₂ ⊂ P, M₂ ∩ P = ∅) непротиворечивой? Если да, то можно ли ее упростить? Для ответа на поставленные вопросы проведите сначала логические рассуждения, а затем воспользуйтесь кругами Эйлера. Сформулируйте выводы, соответствующие полученному результату.

23. Запишите множество упорядоченных пар (x, y), выражающих отношение «x — делитель y» на множестве целых чисел от 2 до 10 включительно. Является ли это отношение функцией? Обладает ли оно свойством транзитивности?

24. Запишите отношение между элементами множества цифр из задачи 13, выражающееся как «x имеет больше двух общих элементов с y».

25. Пусть x ∈ X, y ∈ Y и A — отношение между элементами множеств X и Y, выражаемое соотношением xAy. Укажите, в каких случаях А можно рассматривать как функцию: