Читать «Многоликий солитон» онлайн - страница 174

[x(S + ΔS) - x(S)]1/ΔS = 1/y(S) = x(S),

т. е. Δ(e^S)/ΔS = е^S. Когда S = ω₀t, то отсюда следует, что

 Δ(e^S)/Δt = Δx/Δt = ω₀e^ω₀t,

т. е. х' = ω₀х. Точно так же у' = -ω₀у, и мы показали, что у = ехр (-ω₀t) — решение уравнения (4.7). Самое общее решение можно получить, если взять S = ω₀(t + t₀), т. е. просто сдвинуть начало отсчета времени.

Аналогия с геометрическим определением тригонометрических функций cos(ω₀t) и sin(ω₀t) теперь должна быть ясной. Они определялись как проекции на координатные оси точки, движущейся по окружности единичного радиуса. Поэтому площадь сектора, «заметаемого» радиусом, также равномерно нарастала со временем: S = ω₀t.

Еще ближе аналогия тригонометрических функций с гиперболическими функциями. Построим на таком же рисунке, как и рис. П1 взаимно перпендикулярные оси ОУ и ОХ (рис. П2).

Поделенные на проекции X(S) и Y(S) точки А на эти оси называются гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом аргумента S и обозначаются следующим образом:

Эти функции похожи на sin S и cos S. Ясно, что их легко выразить через ехр (S) и ехр (-S), но полезно знать и геометрическое определение, исходя из которого можно найти все основные свойства показательной и гиперболических функций.

Самое главное свойство показательной функции, которое можно было бы взять за определение, выражается очень просто: e^S₁+S₂ = e^S₁ • e^S₂. Доказывается оно геометрическим рассуждением, провести которое мы предлагаем читателю. Покажите также, что sh S = 1/2 (e^S - e^-S), ch S = 1/2 (e^S + e^-S).

2. Найдем теперь геометрическим построением решение уравнения (4.6). Обозначим = ψ (рис. ПЗ).

Отсюда очевидно, что ψ = (π - φ)/4 и tg ψ = exp(-S)/exp(S) = exp(-2S). Приращение площади ΔS при малом смещении точки А по гиперболе можно записать как площадь малого сектора с радиусом (ОА)  (ОА') и углом -Δψ = , т. е. ΔS = -½Δψ·(ОА)². Так как (ОА) = ехр(S)/cos ψ, то отсюда следует, что

Возвращаясь к углу φ, находим, что

Чтобы получить отсюда уравнение (4.6), достаточно положить S = ½ω₀t. Тогда φ' = 2ω₀cos(φ/2), а условие tgψ = exp(-2S) дает

Мы показали, что угол φ(t) зависимость которого от t определена этим уравнением, удовлетворяет уравнение (4.6). Общее решение уравнения (4.6) можно найти сдвигом начала отсчета времени, т. е. заменой в формуле (4.9) t на t + t₀. Если угол φ близок к π, то для α = (π - φ)/4 получим из (4.9), что α = ехр(-ω₀t) (так как tg α α). Таким образом, α удовлетворяет уравнению (4.7).

3. В заключение приведем некоторые солитонные уравнения и их простейшие решения.

Уравнение КдФ написано на с. 217, а его солитонное решение на с. 222, формулы (7.1), (7.2). Обычно это уравнение записывают для безразмерной функции u = 3y/4h от безразмерных переменных

где точка обозначает производную по Т, а штрих — производную по X. Солитонное решение в новых переменных