Читать «Логика для юристов» онлайн - страница 179

Формулами являются также пропозициональные переменные и символы 1 и 0.

На основе тождеств 1—13 можно преобразовывать формулы. Например, из формулы

можно получить тождественную ей формулу 0 следующим образом:

Установлено, что исходная формула тождественна 0, то есть суждение, которому эта формула соответствует, является ложным.

Из того как использовались тождества 1—13 можно уяснить, что в них буквами А, В, С обозначаются формулы.

Построенная алгебра имеет и другие интерпретации.

Рассмотрим одну из таких возможных интерпретаций. Пусть буквами А, В, С обозначаются объемы понятий (классы предметов), а символами “•”, “v”, “-”соответственно операции пересечения, объединения классов, дополнения к классу в некотором универсуме.

Пересечением классов А и В называется новый класс А • В, элементами которого являются те и только те предметы, которые принадлежат как классу А, так и классу В. Графически этот класс изображается заштрихованной частью кругов А и В:

Объединением классов А и В называется новый класс A ∨ В, элементами которого являются все элементы классов А и В. Графически этот класс

представляется заштрихованной поверхностью круговой схемы:

Пусть нулем обозначается нулевой (пустой) класс, а единицей — универсальный, то есть класс, включающий все предметы исследуемой области. Тогда дополнением к классу А в универсальном классе называется класс А, элементами которого являются все элементы универсального класса, за исключением элементов класса А. Обозначим на схеме универсальный класс прямоугольником. Класс А представляется заштрихованной поверхностью.

Для иллюстрации первого из тождеств 3 посредством этой интерпретации начертим три пересекающихся круга А, В, С.

Чтобы получить класс А • (B ∨ C), сначала осуществим объединение классов В и С.

Класс B ∨ C представлен заштрихованной поверхностью круговой схемы. Теперь осуществим пересечение классов А и B ∨ C:

В результате получим класс А•(B∨C), представленный поверхностью круговой схемы, заштрихованной дважды.

Затем начертим еще три пересекающихся круга А, В, С. Для графического изображения класса A•B∨A•C (правой части первого из тождеств

3) представим сначала графически класс АВ:

Затем представим графически класс А•С:

Объединение классов А•В и А•С представляется заштрихованной поверхностью схемы:

При этом оказывается, что классы А•(B∨C) и A•B∨A•C совпадают, что подтверждает правильность первого из тождеств 3.

Предлагаем читателю самостоятельно обосновать правильность второго из тождеств 3 описанным способом.

§ 2. ПРИМЕНЕНИЕ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

А. Сигнализация

Алгебра логики используется при проектировании сигнализации. Пусть руководитель органа внутренних дел формулирует следующие условия работы сигнализации с охраняемого объекта: “желтый световой сигнал у дежурного по объекту включается ночью, если на каком-либо этаже здания, кроме первого этажа появляется человек; если на одном из этих этажей оказываются два человека, то гаснет желтый сигнал и загорается зеленый; если там оказываются три человека, то горят оба сигнала; при появлении на указанных этажах четырех человек горит красный свет; в том случае, когда на этих этажах находится более четырех человек, звучит сирена — сигнал тревоги (можно, например, считать, что в ночное время на эти этажи могут приходить только четыре человека)”.