Читать «Логика для юристов» онлайн - страница 178

ГЛАВА Х АЛГЕБРА ЛОГИКИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В СФЕРЕ ПРАВОПОРЯДКА

§ 1. ПОНЯТИЕ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

В элементарной алгебре, какую изучают в средней школе, операции над числами — сложение, вычитание, умножение и др. описываются при помощи равенств типа:

а + в = в + а;

а • в == в • а;

(а + в) 2 = а 2 + 2ав + в 2.

В алгебре логики применяются три операции — логическое умножение (•), логическое сложение (∨) и логическое отрицание (-). Эти операции являются операциями над суждениями. Суждение имеет одно из двух значений — оно истинно или ложно. Пусть значению “истина” соответствует число 1, а значению “ложь” — число 0. Таким образом в алгебре логики операции осуществляются в конечном счете над числами 1 и 0. В этом имеется некоторое сходство между алгеброй логики и элементарной алгеброй.

Операции алгебры логики “•” и “∨” соответственно понимаются как конъюнкция и дизъюнкция, операция “-”— как логическое отрицание. Свойства этих операций описываются посредством тождеств 1—13. В качестве знака логического тождества (равенства) употребляется символ “=”.

Правильность некоторых из этих тождеств очевидна, а некоторых — нет. Постараемся пояснить неочевидные тождества, чтобы у читателя появилась уверенность в их правильности.

Тождества алгебры логики

1. А • В = В • А;

A ∨ B = B ∨ A.

Тождества 1 устанавливают, что в суждениях с союзами, являющимися конъюнкцией и дизъюнкцией, члены конъюнкции и дизъюнкции можно переставлять.

2. А • (В • С) = (А • В) • С;

A ∨ (B ∨ C) = (A ∨ B) ∨ C.

Эти тождества устанавливают, что последовательность применения к суждениям одной и той же операции “•” или “∨” может быть любой. Правильность этих тождеств очевидна, поскольку в естественном языке скобки в таких случаях вообще не употребляются.

3.А • (В ∨ C) =A • В ∨ A • С;

А ∨ (В • С) = (А ∨ В) • (А ∨ С).

Знак “•” здесь связывает теснее, чем “∨”.

В элементарной алгебре есть аналог первого из этих тождеств:

а • (в+с) = (а • в) + (а • с);

аналога второго из них тождеств нет, так как равенство:

а+(в • с) = (а+в) • (в+с) неверно в элементарной алгебре.

Пример суждений, тождественных в силу первого из тождеств 3: “Петров знает английский язык, и он знает французский или немецкий”, “Петров знает английский и французский языки или Петров знает английский и немецкий языки”. Если тождество не кажется очевидным, то его можно проверить при помощи таблицы истинности.

4. А • А = А;

А ∨ А= А.

На основе тождества 4 повторения в сложных суждениях можно сократить.

Отрицая ложь, получим истину, и наоборот.

В главе V в качестве переменных для суждений использовались символы р, q, r, s и эти же символы с нижними индексами. В том же значении эти символы будут употребляться и в этой главе. Последовательность символов, получаемую в результате замены простых суждений, входящих в сложное суждение, пропозициональными переменными, а союзов “и” и “или” — символами “•” и “∨”, отрицания — символом “-”, будем называть формулой. Например, суждению "Понятые не приглашены или протокол не составлен" соответствует формула: