Читать «Как сохранить любовь в браке» онлайн - страница 151

Теперь, когда мы уяснили основные принципы, давайте посмотрим, что произойдет, если Эстер и Виктор будут многократно играть в эту игру и менять стратегии. Ситуация повторяющейся игры немного напоминает фактические отношения между партнерами, в ходе которых между ними многократно повторяется один и тот же обмен. Например, оба партнера могут выбирать в одной половине случаев охоту на оленя, а в другой – ловлю кроликов. Однако можно найти решение для лучшей повторяющейся стратегии («смешанной стратегии») и с точки зрения каждого игрока.

Предположим, что Виктор решает охотиться на оленя с вероятностью σ_оленя («σ» – вероятность), а наловить кроликов – с вероятностью (1 – σ_оленя). Тогда, если Виктор охотится на оленя с вероятностью а и ловит кроликов с вероятностью (1 – σ_оленя), ожидаемый выигрыш (ЕР) для Эстер, если та решит поохотиться на оленя, будет такой:

ЕР для Эстер, если она охотится на оленя = = (3) (σ_оленя) + (0) (1 – σ_оленя).

Если Эстер ловит кроликов:

ЕР для Эстер, если она ловит кроликов = (2) (σ_оленя) + (1) (1 – σ_оленя).

Теперь, если мы примем, что EP_оленя = EP_{кроликов}, действия Виктора окажутся безразличны для выигрыша Эстер в случае изменения им выбора. Поэтому изменение выбора Виктора для Эстер приемлемо (ее точка безразличия будет достигнута):

(3) (σ_оленя) + (0) (1 – σ_оленя) = (2) (σ_оленя) + (1) (1 – σ_оленя)

3σ_оленя = 1 + σ_оленя

2σ_оленя = 1

σ_оленя = 1/2.

Следовательно, Эстер не заботит, будет ли Виктор с вероятностью 1/2 охотиться на оленя или ловить кроликов с вероятностью 1/2. Его выбор не повлияет на ее выигрыш. Поэтому смешанная стратегия Виктора может привести к уравнению Нэша для смешанной, а не для чистой стратегии.

В этом уравнении аналогичные вычисления показывают, что смешанная стратегия работает иначе. Для выигрыша Виктора не имеет значения, предпочтет ли Эстер охотиться на оленя с вероятностью 1/2 или ловить кроликов с такой же вероятностью. Поэтому когда каждый игрок выбирает оленя или кроликов с вероятностью 1/2, его выбор описывает уравнение Нэша для смешанной стратегии.

Игры с нулевым результатом

В игре типа «победитель получает всё» каждая ячейка в матрице выигрышей будет включать и победителя, и побежденного. В приведенном ниже примере два игрока одновременно передвигают покерные фишки по столу.

В этой игре нет уравнения Нэша для чистой стратегии – у игроков нет возможности получить максимальную выгоду одновременно.

Давайте взглянем на уравнения смешанной стратегии, где каждый игрок делает свой выбор с определенной вероятностью (мы снова будем исходить из того, что в этой игре много раундов). Игрок подбрасывает монетку, чтобы решить, двигать ему фишку вверх или вниз. В результате он случайным образом выбирает то или иное направление в 50 % случаев. Следовательно, ожидаемый выигрыш при передвижении фишки влево составит: