Читать «Тестирование с помощью Чатуранги» онлайн - страница 23

5.2.1 О магии цифр. Что такое магические квадраты

О магии цифр можно рассказывать много. В качестве примера в начале этого исследования мы уже упоминали о цифре 4. Очень многое можно сказать подобным образом о любой цифре.

Например, цифра 1 – единица, начало всего. Цифра 2 – разделение, противоположность двух полов. 3 – треугольник… И так далее. Это очень благодатная тема, углубляться в которую можно бесконечно.

Поэтому оставим ее и прейдем к магическим квадратам, которые имеют прямое отношение к Чатуранге.

Магическими квадратами называют квадратные таблица из целых чисел, которые обладают уникальными свойствами: например, суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.

Считается, что магические квадраты изобретены в Древнем Китае, а также были известны в Древней Индии, откуда берёт начало Чатуранга. В частности это доказывает Н. М. Рудин в своей книге «От магического квадрата – к шахматам».

Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н. э.) из вод Хуанхэ (Жёлтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы. Эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату. В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в 16 в. магическим квадратам была посвящена обширная литература. Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 в. византийский писатель Э. Мосхопулос. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А. Дюрера изображенный на его знаменитой гравюре «Меланхолия 1». Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.

В 19–20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры и операционного исчисления.

Каждый элемент магического квадрата называется клеткой. Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, содержит n2 клеток и называется квадратом n-го порядка. В большинстве магических квадратов используются первые n последовательных натуральных чисел. Сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, называется постоянной квадрата и равна S = n(n2 + 1)/2. Доказано, что n – 3. Для квадрата 3-го порядка S = 15, 4-го порядка – S = 34, 5-го порядка – S = 65.

Две диагонали, проходящие через центр квадрата, называются главными диагоналями. Ломаной называется диагональ, которая, дойдя до края квадрата, продолжается параллельно первому отрезку от противоположного края. Клетки, симметричные относительно центра квадрата, называются кососимметричными.

Магические квадраты можно строить, например, с помощью метода французского геометра 17 в. А. де ла Лубера.