Читать «Эпистемология классическая и неклассическая» онлайн - страница 178

Но вот когда мы переходим к множествам бесконечным, дело основательно запутывается.

Представьте себе множество всех натуральных чисел: 1,2,3,4,5,6, 7,8…. Ясно, что это множество бесконечно. А теперь представьте себе множество всех четных чисел: 2,4,6,8…. Ясно, что и это множество тоже бесконечно. Не менее ясно и то, что четные числа составляют лишь часть всех натуральных: ведь четным является не всякое натуральное число, наряду с четными существуют и нечетные натуральные числа. Если одно множество составляет часть другого, разумеется, оно уступает по мощности тому множеству, в которое оно входит. Значит, мощность всех четных чисел гораздо меньше мощности всех натуральных чисел. Но теперь давайте проделаем такую процедуру. Сопоставим каждый элемент множества всех четных чисел с каждым элементом всех натуральных чисел. Иными словами, поставим в соответствие числа 2 и 1, 4 и 2, 6иЗ, 8 и 4, 10 и 5 и т. д. Ясно, что каждому элементу одного из этих множеств мы можем поставить в соответствие один и только один элемент другого. Значит, два множества равномощны. Но ведь этого же не может быть, поскольку одно из них только часть другого! Мы пришли к парадоксу, неразрешимому противоречию.

При действиях с бесконечными множествами такого рода парадоксов возникает немало. Для их разрешения предлагались разные средства, в том числе связанные с новым пониманием бесконечности в математике не как законченного, «данного» множества, а как процесса, как возможности бесконечного повторения некоторых элементарных операций. Самое интересное состоит в том, что при подобном понимании бесконечности приходится не только иначе понять целый ряд разделов математики, но и отказаться при оперировании с бесконечностью от одного из основных логических законов: закона исключенного третьего (который гласит, что каждое из двух утверждений, противоречащих друг другу — например, «Это моя книга» и «Это не моя книга» — является либо истинным, либо ложным). Выходит, что приходится внести существенные поправки в традиционное понимание априорности математического знания как чего-то совершенного, неизменного и не зависящего от развития познания. Получается, что могут меняться наши представления о принципиальных понятиях математики, что мы иногда вынуждены пересматривать старые результаты и даже отказываться от некоторых из них. Оказывается, что даже применение основных логических законов, которые лежат в основании всей математики, зависит от той предметной области, с которой мы имеем дело (закон исключенного третьего действует в отношении конечных множеств и неприменим в случае бесконечных процессов).