Читать «Эпистемология классическая и неклассическая» онлайн - страница 179

Так возникает мысль, что, по видимому, математика все же каким-то образом связана с опытом, хотя эта связь очень сложна и отлична от связи с опытом остальных видов знания.

Неэвклидовы геометрии и связь геометрии с опытом

К этой же мысли приводит размышление и над другими событиями, случившимися в математике в XIX–XX столетиях.

Как вы знаете, изучаемая вами в школе геометрия (называемая эвклидовой, по имени великого древнегреческого математика Эвклида, который сформулировал ее основные положения) исходит из ряда аксиом и постулатов. Один из постулатов эвклидовой геометрии гласит: если вне данной прямой дана точка, то через нее можно провести только одну прямую, параллельную данной. В XIX веке великий русский математик Лобачевский поставил вопрос: а что, если отказаться от этого постулата и заменить его другим, согласно которому таких прямых будет не одна, а множество? Можно ли в этом случае создать иную, неэвклидову геометрию со своими теоремами? Лобачевский построил такую неэвклидову геометрию, которую он назвал «воображаемой», так как считал, что та геометрия, которая соответствует нашим представлениям о пространстве, может быть только эвклидовой. После Лобачевского и другие математики создали несколько систем неэвклидовой геометрии. Но в XX столетии, когда Эйнштейном была создана теория относительности, описывающая физическую реальность и проверяемая на опыте, оказалось, что именно неэвклидова геометрия соответствует физике нашего мира. Выясняется, что геометрия тоже связана с опытом. Эвклидова геометрия хорошо описывает наш обычный опыт. А в тех случаях, когда мы имеем дело с Вселенной в целом, наиболее подходящей для описания характеристик пространства будет неэвклидова геометрия.

Гипотезы, опровержения и подтверждения в математике

Сейчас многие ученые приходят к выводу, что нужно отказаться от понимание математики как чисто дедуктивной науки, в которой нет места для выдвижения разного рода предположений (гипотез), их сопоставления с определенного рода опытом, уточнения и изменения этих гипотез, а, возможно, и их опровержения (что характерно для всех остальных наук). Англо-венгерский философ Лакатос изучал под этим углом зрения историю математики и пришел к интересным выводам на примере доказательств, опровержений и уточнений так называемой стереометрической теоремы, относящейся к соотношению между числами сторон, вершин и граней многогранника. Лакатос показал, что история этой теоремы — это история выдвижения разных предположений, которые затем опровергались приводимыми новыми примерами, уточнялись, формулировались снова и т. д. В существенных чертах этот процесс очень напоминает то, что делается во всех опытных науках.