Читать «Объективное знание. Эволюционный подход» онлайн - страница 37

Теперь мы можем определить ложностное содержание высказывания а, которое мы обозначим А_F,как содержание высказывания апри данном истинностном содержании а (то есть пересечении А_T между А и T, где T — система, в смысле Тарского, истинных высказываний). Иначе говоря, мы можем определить:

А_F = а, А_T.

Определенное таким образом А_F отвечает нашим пожеланиям, или требованиям, адекватности: (a) A_F есть содержание, пусть даже только относительное содержание; в конце концов, абсолютные содержания — это тоже относительные содержания, если дана логическая истина (или в предположении, что Lлогически истинно); (b) А_Fсодержит все ложные высказывания, следующие из а, поскольку это дедуктивная система высказываний, которые следуют из а, принимая истинные высказывания за наш (относительный) ноль; (с) Арне «содержит» никаких истинных высказываний в том смысле, что его истинные высказывания рассматриваются не как содержание, а как его (относительное) нулевое содержание.

Содержания иногда логически сравнимы, а иногда нет; они образуют частично упорядоченную систему — упорядоченную отношением включения, точно так же как высказывания образуют систему, частично упорядоченную отношением следования (entailment). Абсолютные содержания А и В сравнимы, если А ⊂ В или В ⊂ А. Для относительных содержаний условия сравнимости сложнее.

Если X есть финитно аксиоматизируемое содержание, или дедуктивная система, то существует высказывание x такое, что X есть содержание x.

Таким образом, если Y — финитно аксиоматизируемо, мы сможем написать:

x, Y= x, у.

В этом случае можно видеть, что х, Y равно абсолютному содержанию конъюнкции х.y минус абсолютное содержание y.

Аналогичные соображения показывают, что а, Bи с, D будут сравнимы, если

(А + В)- В сравнимо с (С + D) - D,

где есть сложение дедуктивных систем по Тарскому: если обе аксиоматизируемы, А + D есть содержание конъюнкции а.Ь.

Таким образом, сравнимость будет достаточно редкой в этой частично упорядоченной системе. Однако есть способ показать, что эта частично упорядоченная система может быть «в принципе» — то есть без противоречия — линейно упорядочена. Этим способом является применение формальной теории вероятностей. (Я утверждаю здесь только ее применимость к аксиоматизируемым системам, но не исключено, что ее можно расширить и на неаксиоматизируемые системы; см. также главу 9).