Читать «Критическая масса, как одни явления порождают другие» онлайн - страница 317

В качестве начального состояния исследователи выбрали простейший упорядоченный граф, в котором все вершины располагаются на окружности (напомним, что окружность в отличие от простой одномерной последовательности вершин позволяет не учитывать краевых эффектов). Постепенно переключая связи, исследователи не только изучили процесс перехода, но и вычислили все промежуточные значения двух главных топологических характеристик сетей: характеристическую длину пути L и численный показатель кластеризации С¹³². Количество переключений может быть количественно охарактеризовано вероятностью того, что конфигурация произвольно выбранной вершины отличается от начальной, т. е. равенство этой вероятности нулю соответствует полной упорядоченности системы, а единице — абсолютно случайному графу.

На первый взгляд кажется, что значения этих основных параметров (I и С) должны уменьшаться с ростом числа переключений в системе, так как в упорядоченных решетках падает степень кластеризации и увеличивается количество сквозных связей. Но все оказалось гораздо сложнее, так как в модели обнаружилось три сюрприза. Во-первых, результат в ней достигался очень быстро — примерно после десяти этапов преобразуемые графы можно считать практически случайными. Во-вторых, превращение упорядоченных графов в случайные происходит очень резко, что позволило Ваттсу сопоставить их с фазовыми переходами в статистической физике — формально можно считать, что упорядоченный, «кристаллический» граф при некоторых значениях параметра быстро переходит в неупорядоченное, «жидкое» состояние. Третьей неожиданностью стало то, что параметры L и С изменяются не одновременно и параллельно, а на разных стадиях (рис. 15.8).

Последнее обстоятельство наиболее знаменательно. В некоторой области (выделенной на рисунке серым цветом) характеристическая длина L уже становится очень малой и явно соответствует случайным графам, в то время как степень кластеризации С остается достаточно высокой (при небольшом увеличении числа переключений она затем так же резко уменьшается). Именно такая комбинация параметров характерна для малых миров. Например, круг друзей и знакомых существует и функционирует за счет сочетания высокой кластеризации и большого числа связей между кластерами, обеспечивающими очень короткую длину цепочки, отделяющей одного человека от другого, — шести степеней отдаления. Желая подчеркнуть особую роль таких промежуточных структур, Строгац и Ватте назвали их графами малых миров.

Рис. 15.8. Зависимость характеристической длины L и коэффициента кластеризации С от степени случайного переключения связей в круговом графе. Степень переключения связей характеризуется параметром B (см. текст), значения которого отложены по оси абсцисс в логарифмическом масштабе. Это означает, что зависимости при малых B «растянуты» для большей наглядности изменений L при небольшом числе переключений. Оба главных показателя (L и С) имеют высокие значения в исходном упорядоченном графе и очень малые — в конечном случайном графе. При переходе от исходного состояния к конечному эти величины меняются независимым образом, в результате чего возникают промежуточные графы с высокими значениями С и малыми значениями L, которые и соответствуют описываемым «малым мирам».