Читать «Досить Катрін» онлайн - страница 112
Джон Грін
f(x) = x2,
що означає, що коли я даю вам число
У цьому випадку корисно буде розставити додаткові точки (0;0), (-1;1), (-2;4) та (-3;9). (Пам’ятаймо, що від’ємне число, помножене на себе, дає додатний результат.)
Тепер ви, ймовірно, здогадуєтеся, що графік становитиме собою криву десь отакого вигляду:
Ви помітите, що, на жаль, цей графік не дуже підходить для того, щоб зображувати стосунки. Усі графіки, які Колін хоче використовувати для своєї Теореми, повинні двічі перетинати вісь X (один раз, коли пара починає зустрічатися, і вдруге — коли відбувається розрив), а наш графік торкається її тільки раз. Та це можна легко виправити, скориставшись трохи складнішою функцією. Візьмімо, наприклад, функцію
Цей графік добре знайомий Колінові — він зображає короткочасні стосунки, коли дівчина кидає його (ми знаємо, що дівчина кидає Коліна, бо між першим поцілунком і розривом крива розташована над віссю X). Цей графік дає нам загальне уявлення про історію життя Коліна. Тепер нам треба зрозуміти, як змінити його, щоб з'ясувати деталі.
Однією з головних тенденцій математики у двадцятому сторіччі було прагнення вивчати все в «сім’ях». (Коли математик вживає слово «сім’я», він розуміє будь-яке зібрання схожих або пов'язаних об’єктів. Наприклад, стіл і стілець обидва належать до «меблевої сім’ї».)
Ідея ось у чому: що таке лінія? Це тільки зібрання («сім’я») точок; а площина — лише сім’я ліній, і так далі. Це має переконати вас, що коли один об’єкт (як точка) цікавий, то ще цікавіше буде вивчити цілу сім’ю подібних об’єктів (як лінія). Такий погляд цілковито опанував математичні дослідження протягом останніх шістдесяти років.
Це приводить нас до третьої частини Колінового еврика-пазла. Кожна Катріна інакша, отож кожен розрив з новою Катріною відрізняється від попередніх. Це означає, що хоч як ретельно Колін працює над однією функцією, одним графіком, він зображатиме тільки одну Катріну. Що насправді потрібно Коліну — це дослідити всіх можливих Катрін і їхні функції, всіх одразу. Іншими словами, йому треба дослідити сімейство функцій всіх Катрін.
І Колін правильно здогадався, що стосунки можна представити графіком, що графік визначається функцією, і що цілком можливо дослідити всі ці функції одразу за допомогою однієї (дуже складної) формули, так, що це допоможе йому передбачати, коли будь-яка майбутня Катріна покине його (і, що важливіше, чи вона його справді покине).
Наведімо приклад того, що це може означати; насправді візьмемо першу спробу Коліна. Формула має такий вигляд:
