Читать «Teopeмa Гёделя» онлайн - страница 27

Второй основной результат работы Гёделя, пожалуй, еще более неожидан и поразителен; он указывает на некоторую принципиальную ограниченность возможностей аксиоматического метода. Гёдель показывает, что система Principia Mathematica, как и всякая иная система, средствами которой можно построить арифметику, — существенно неполна. Это значит, что для любой данной непротиворечивой системы арифметических аксиом имеются истинные арифметические предложения, не выводимые из аксиом этой системы.

Это обстоятельство играет решающую роль для оценки всей работы Гёделя, и на нем стоит остановиться несколько подробнее. Математикам хорошо известны примеры общих утверждений, для которых до сих пор не найдено никакого опровергающего примера, но не найдено и доказательства. Классическим примером такого рода может служить знаменитая «теорема Гольдбаха», утверждающая, что каждое четное число можно представить в виде суммы двух простых чисел. Мы не можем указать ни одного четного числа, которое не являлось бы суммой двух простых, но у нас нет и доказательства гипотезы Гольдбаха, пригодного для всех четных чисел. Таким образом, перед нами — арифметическое утверждение, которое вполне может быть истинным, но не выводимым из аксиом арифметики. Допустим, что это действительно так (утверждать подобное мы, разумеется, не можем). Представим себе, что мы изменили или пополнили исходную аксиоматику таким образом, чтобы все истинные, но не выводимые в исходной системе предложения (к их числу относится, по сделанному только что предположению, гипотеза Гольдбаха) станут в расширенной системе выводимыми. Теорема Гёделя показывает, что никакое такое расширение арифметической системы не может сделать ее полной, т. е. что даже если пополнить ее бесконечным множеством аксиом, все равно в новой системе найдутся истинные, но не выводимые (хотя и выразимые!) ее средствами предложения.

^{Истинность таких предложений, как мы ниже увидим, можно установить посредством некоторого метаматематического рассуждения об арифметической системе. Но такое рассуждение не удовлетворяет требованию, согласно которому исчисление должно быть, так сказать, «замкнутой системой», т. е. все доказуемые в нем истинные предложения должны быть получены как формальные следствия из аксиом внутри самого исчисления. Таким образом, аксиоматический метод как средство построения всей содержательной арифметики оказывается принципиально ограниченным.}

Чтобы читателю было легче понять идею доказательства Гёделя, мы (следуя Гёделю) приведем вначале схему рассуждения, посредством которого получается логическая антиномия (противоречие), известная под названием «парадокса Ришара» (по имени описавшего ее в 1905 г. французского математика).

Возьмем какой-нибудь язык (например, русский), средствами которого можно описывать и определять все чисто арифметические свойства чисел. Рассмотрим определения, которые можно сформулировать на этом языке. Ясно, что некоторые термины, относящиеся к арифметическим свойствам, нам определить явным образом все равно не удастся (с чего-то надо начать и в определениях во избежание ситуаций, известных под названиями «порочного круга» и «бесконечного спуска»), хотя, конечно, мы можем в принципе понимать смысл этих слов и без определений. Для нашей цели несущественно, какие именно термины принять в качестве исходных, неопределяемых; мы можем, например, считать, что мы понимаем смысл предложений «целое число делится на другое целое число», «целое число является произведением двух целых чисел» и т. п. Свойство быть простым числом тогда можно определить следующим образом: «не делиться ни на одно целое число, кроме самого себя и числа 1»; свойство быть точным квадратом: «быть произведением некоторого целого числа на то же число» и т. п.